Вы находитесь на сайте журнала "Вопросы психологии" в полнотекстовом ресурсе.  Заглавная страница ресурса... 

32

 

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ И ЗАДАЧАХ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

 

А.Н. КРИЧЕВЕЦ

 

Работа выполнена при поддержке РГНФ.  Грант 97 — 03 — 04183

 

Предмет данной статьи - некоторые проблемы математического моделирования и математического образования. Рассуждение будет вестись вокруг одного чрезвычайно интересного достижения в области компьютерных интеллектуальных систем - решателя математических задач, созданного московским математиком А.С. Подколзиным [11]. Эта компьютерная программа "умеет" решать задачи по алгебре и тригонометрии, используя известные приемы решения - такие, как подстановки, возведение в квадрат двух частей равенства и т.п. Чтобы ответить на вопрос, можно ли считать эту систему моделью человеческой деятельности и если можно, то что именно она моделирует, мы, кроме общих проблем обучения, должны будем коснуться и предмета математики, и функций моделирования, и некоторых других тем, поскольку лишь в этом очень широком контексте можно надеяться получить хотя бы предварительные ответы.

Несколько слов о самом решателе. Программа А.С. Подколзина решает задачи уровня конкурсных экзаменов по математике для поступающих в вузы. Она работает с символьной записью задач и использует для решения те же самые операции, что и человек. Решение можно оформить в протокол, пригодный для подачи прямо в соответствующую экзаменационную комиссию. Решатель справляется с 90 % задач, что соответствует хорошей оценке на экзаменах. Автор системы проявил значительную изобретательность, создав специальный язык (и компилятор для него), описывающий приемы решения и последовательность их применения, систему распознавания проблемной ситуации, определяющую целесообразность применения тех или иных приемов, и решив множество задач чисто технического характера.

Для нас, однако, важно, что количество используемых приемов оказывается неожиданно большим - порядка пятисот для задач, например, по алгебре. Программирование последовательности применения приемов, запоминание совершенных действий, оценка степени приближения к цели представляют собой для такого количества приемов очень сложную задачу. Но рассматривая эту программу как модель "человеческого" решения задач, мы видим, что вся эта сложная структура усваивается прилежным абитуриентом за слишком короткое время. Для успешного овладения такой структурой из нескольких сотен приемов кажется необходимым решение хотя бы нескольких сотен задач (скорее всего, на порядок больше), а способный абитуриент ограничивается при подготовке к экзамену значительно меньшим числом. Это обстоятельство, которое мы будем рассматривать далее подробно, адресует нас к смежным отраслям знания.

Как справедливо отмечал Ж. Пиаже, существует глубокое родство между психологическими теориями интеллекта, эпистемологией и важнейшими биологическими учениями об эволюционной изменчивости. "Естественно, - писал он, - что чем родственнее проблемы, тем более вероятно сходство в их решениях, причем одно из них подкрепляет другое" [10; 70]. Соглашаясь с известным психологом, мы собираемся сверх перечисленных включить в круг родственных также и проблемы компьютерного моделирования, развитие которого пришлось как раз на полвека, прошедшие с момента написания работы Ж. Пиаже. Мы считаем полезным сопоставить компьютерные модели изолированных функций мышления, системы обратимых операций Ж. Пиаже,

 

33

 

а также, что менее очевидно, кантовские априорные формы.

Кроме этого мы будем опираться на общепризнанный факт из педагогической практики: одним и тем же экзаменационным показателям может соответствовать совершенно разное мыслительное содержание (отличие "натаскивания" от доброкачественного обучения). Наша цель состоит в том, чтобы развернуть и уточнить это отличие и показать, в частности, что системы обратимых операций Ж. Пиаже и иные точные описания систем операций эксплицируют, а не исчерпывают функции мышления. Более того, сопоставление с формально четкими описаниями поможет увидеть существенную черту собственно психологического описания мышления. Чем более эксплицитно представлена содержательная сторона мыслительных действий, тем в большей степени это описание уподобляется компьютерно-ориентированному описанию и тем в большей степени вовлечение в педагогический процесс знаний, полученных с помощью такого рода рефлексии о материале обучения, чревато опасностью в определенном смысле деградации обучения. Чтобы избежать этой опасности, в психологическое описание должен непременно включаться субъект обучения, причем вместе с его отнюдь не гарантированной внешними условиями и ими не определяемой однозначно активностью.

 

АРГУМЕНТ НЕДОСТАТОЧНОСТИ ОПЫТА

 

Чтобы объяснить, на чем основывается наша уверенность в том, что такой принципиально неэксплицируемый и не заданный однозначно остаток действительно присущ интересующим нас предметам, мы сначала коснемся известной проблемы о соотношении врожденного и приобретенного в человеческом знании. История вопроса насчитывает уже десятки веков, однако в нашем веке аргументация в пользу врожденного знания приобретает специфические черты, которые можно связать с так называемой компьютерной метафорой в психологии1.

Это обоснование (назовем его аргументом недостаточности опыта) состоит в следующем: чтобы сложные структуры знаний стали возможны, того опыта, который имеет отдельный человек, недостаточно. В начале нашего века Ч. Пирс утверждал, что врожденные ограничения на допустимые гипотезы являются предварительным условием для успешного построения теории, что "инстинкт угадывания", который обеспечивает гипотезы, использует индуктивные процедуры только для "корректировки", и что человек открывает определенные истинные теории только потому, что его инстинкты должны включать в себя с самого начала определенные тенденции правильно мыслить (см. [16; 108]). Схожим образом Н. Хомский утверждает, что опыт языкового общения, который имеет ребенок от рождения до момента практического овладения родным языком, безусловно недостаточен для формирования столь сложных структур, как грамматические структуры языка. Н. Хомский ставит вопрос: "Какая начальная структура должна быть приписана мышлению, чтобы она обеспечила ему способность построить такую грамматику на основе чувственных данных?" [16; 96] и предлагает в качестве ответа постулирование наличия у ребенка врожденных глубинных языковых структур, которые при соприкосновении с языковой средой лишь модифицируются, причем модификация имеет характер уточнения параметров, настройки, так что из единой врожденной способности возникает в зависимости от опыта и венгерский язык, и язык племени Йоруба [18; 61].

Выше мы связывали появление таких аргументов с развитием компьютерной метафоры. И действительно, аргументы такого рода легко переводятся на язык компьютерных моделей и на самом деле этими моделями в точности выражаются. В нашей работе [9] доказана тривиальная в математическом смысле теорема о том, что самообучающаяся компьютерная система распознавания невозможна. Точнее, для того,

 

34

 

чтобы лишенная всякого "врожденного знания" распознающая система "научилась" классифицировать объекты определенного рода, обучающая выборка должна содержать все подлежащие классификации объекты. Если же реально действующая система "обучается" на относительно коротком обучающем материале, то только благодаря тому, что ее создатель тонко проанализировал и описал возможные классификации (понятно, что говорить о самообучении в таком случае неуместно).

Говоря о врожденном знании или идеях, об априорных формах и т.п., мы имеем в виду прежде всего способность обучаться, приобретать опыт2. Речь здесь идет не о конкретном знании, но, как говорил И. Кант, об условиях возможного опыта. Для И. Канта проблема заключалась в том, что, выражаясь современным языком, способы интерпретации поступающих из внешнего мира стимулов не могут быть выведены из самих этих стимулов.

Заметим, что такого рода априорные знания, которые только и позволяют извлекать опыт из эмпирических наблюдений, обнаруживаются в самых разных формах, в том числе и в психологических исследованиях. Так, в экспериментальной науке это проявляется в зависимости статистической значимости выводов от выбора содержательно значимых для поставленного вопроса переменных. Если рассматривается слишком много несущественных переменных или не рассматриваются существенные, то выделить реальные зависимости оказывается невозможным; это означает, что узнать что-то новое с помощью статистики можно лишь в том случае, если эксперимент был правильно спланирован, т.е. условием возможности обретения нового знания является априорное знание о существенных аспектах ситуации.

Другое сходное проявление принципа недостаточности опыта мы обнаруживаем в описаниях экспериментальных исследований поведения животных. Здесь оказывается существенным, может ли животное воспринять стимул как представляющий именно тот класс условных стимулов, реакции на которые хочет добиться исследователь. Например, способна ли собака усвоить, что для выхода из клетки ей необходимо нажать на педаль и не будет ли она просто бить лапой по тому месту, где педаль находилась в процессе дрессировки, в то время как условная педаль перенесена на новое место. С.Л. Рубинштейн считает способность правильно дифференцировать предметы в ситуации и реагировать на их соотношения первичной предпосылкой интеллекта [13; 136], т.е. до всякого опыта должны быть в наличии условия его возможности - способность к адекватной дифференцированности и генерализованности предметов восприятия. Из современных работ отметим статью [14], где "предвосхищающие схемы" обнаруживаются в исследованиях раннего онтогенеза.

Подобные рассуждения кажутся достаточным основанием для того, чтобы утверждать предзаданность некоторых исходных способностей к приобретению опыта. При этом нет принципиальной разницы, идет ли речь о познавательных способностях человека или о средствах, обеспечивающих в биологической эволюции улучшение гидродинамических качеств плавников определенного вида рыб, что четко выразил известный этолог К. Лоренц. Считая свою теорию развитием идей И. Канта об априорных формах, К. Лоренц утверждает, что априорные условия опыта каждого индивида предшествуют возможной пластичности его поведения (а к этой пластичности он относит и все формы познания) и являются врожденными (онтогенетически априорными). Происхождение этих форм он относит на счет биологической эволюции (тем самым они филогенетически апостериорны), и считает объяснимыми с помощью эволюционной теории3.

35

 

В рамках подхода, который мы связываем с компьютерной метафорой, такие рассуждения безупречны, поскольку всякая информация (если понимать ее формально, по К. Шеннону, как устранение неопределенности) может быть воспринята как таковая, только если эта неопределенность уже заранее полностью описана. Однако в рамках этих же точных рассуждений под каждым уровнем априорно описанной неопределенности (обозначим этот уровень A) мы должны, если хотим объяснить эволюцию перерабатывающих информацию машин, предположить "информационную машину" более общего вида (уровень B), с помощью которой воспринимается информация для "естественного отбора" или иных средств модификации априорных описаний уровня A. В свою очередь, под уровнем B должен обнаруживаться уровень C и т.д. Мы выбрали для нашей аргументации информационное описание, но с тем же успехом можно использовать алгоритмическое или какое-либо иное, лишь бы рассуждения были формально точными. Подробнее об этом, а также о трудностях, с которыми подход К. Лоренца сталкивается уже на уровне эволюционной теории, можно прочитать в нашей специально посвященной этому вопросу работе [8].

Таким образом, по нашему мнению, появление новых форм поведения или новых знаний может объясняться в рамках компьютерной метафоры только за счет введения все более сложных описаний субъекта этого знания (гораздо более сложных, чем то конкретное знание, которое они должны обеспечить). Возможно, эту неприятную вещь понимал Н. Хомский, который признавал, что происхождение глубинных языковых структур - тайна, и скорее всего, таковой и останется [16; 113]. Но в таком случае непонятно, что именно объясняет введение глубинных структур (их введение мотивировалось аргументом недостаточности языкового опыта ребенка для овладения языком): стремясь избавиться от одной тайны, Н. Хомский получает другую.

Резюмируя содержание этой части статьи, укажем, что аргумент недостаточности опыта утверждает только логическую необходимость априорной формы (или условия возможности опыта) в рамках любой формально точной теории, говорит ли она о развитии научного знания, эволюции живых организмов или об обучении ребенка. Мы подчеркиваем: попытка формально точного описания таких процессов неминуемо требует предположения о существовании априорных в широком смысле условий возможности процессов этого рода.

Неминуема и бесконечная серия вопросов о происхождении априорных форм. Если не принимать во внимание наиболее часто встречающийся способ отношения к проблеме - ее переадресацию другой научной дисциплине (психология - биологии, биология - химии и т.д.), то единственной альтернативой бесконечной последовательности объяснений будет необъяснимая таинственность, что мы и видим у Н. Хомского. Нам представляются неприемлемыми оба варианта. Первый в силу невозможности обнаружить в природе бесконечную последовательность усложняющихся точных механизмов, вложенных друг в друга, вторую - в силу того, что проблема объяснения недостаточности опыта в совершенно изоморфном виде переносится с одного уровня на другой.

 

НЕДОСТАТОЧНОСТЬ ОСНОВАНИЙ РАЗВИТИЯ

 

Отвергая обе априористские альтернативы, мы вынуждены отвергнуть и "буквальный" априоризм. Априорные формы, делающие опыт возможным, не "существуют" в организме ребенка в виде обнаруживаемых с помощью микроскопа структур. Вообще, основания возможности опыта, адаптации или эволюции не могут быть обнаружены

 

36

 

и описаны вполне точно как предметы, и аргумент недостаточности опыта не может быть употреблен в пользу теорий, отстаивающих буквальную врожденность этих оснований. Однако отсюда вовсе не следует, что этот аргумент надо отбросить. Напротив, его весомость невозможно подвергнуть сомнению. Мы вынуждены теперь принять, что недостаточность опыта - явление хроническое, т.е. всякий раз, когда впервые появляется нечто новое (биологический вид, адаптация, лучшие познавательные способности, истинное знание), мы имеем дело с процессом, который подчиняется, если можно так выразиться, закону недостаточного основания.

Рассмотрим пример. Ребенок впервые в жизни получает текст, содержащий информацию: Земля и восемь больших планет вращаются вокруг Солнца. C логической точки зрения, чтобы понять это высказывание, ребенок должен уже знать, что такое "планета" и "Солнце" (не как яркое пятно на видимом небосводе, а как огромное тело в пространстве - масштабы, с которыми ребенок не сталкивается в своем опыте). Но именно эти понятия на самом деле и вводятся в высказывании, с которым ребенок сталкивается впервые. Та "добавка", которую компьютерная метафора обязана поместить в контекст, на самом деле таинственным образом вводится текстом, и возникает она в тот же момент, что и понимание самого высказывания4. Мы видим, что полученная ребенком "информация" не только устраняет неопределенность, но в одном акте понимания (если понимание произошло и в той мере, в какой оно произошло) она порождает и контекст неопределенности, которую в тот же момент и "устраняет". В логическом смысле это и есть априорная форма будущего опыта, но фактически здесь будущее по времени совпадает с настоящим. Если же мы попытаемся найти природный коррелят логическим основаниям понимания, то столкнемся с той самой проблемой, на которую мы указывали в случае эволюционной эпистемологии - в природе придется предположить бесконечную последовательность вложенных механизмов. Таким образом, хроническая недостаточность оснований сопутствует всякой ситуации образования нового.

На эту недостаточность указывал К. Коффка, утверждавший, что обучение никогда не бывает абсолютно специфичным. "Когда организм овладевает какой-нибудь задачей, он не только усваивает себе, как решить снова такую же задачу, но он становится способным решать и другие задачи, с которыми он раньше не мог справиться... Таким образом, обучение действительно является развитием, а не простым механическим приобретением изолированных форм поведения" [7; 136].

Комментируя это высказывание, Л.С. Выготский выражает его смысл точным афоризмом: "Совершая шаг в обучении, ребенок продвигается в развитии на два шага" [1; 378]. Второй шаг, выводящий за пределы усваиваемого материала, приходится на формирование той целостности, или адекватного контекста, в рамках которых усвоенный материал только и приобретает смысл. В отличие от сторонников врожденного знания, которые второй шаг развития объясняли бы актуализацией врожденных идей в результате соприкосновения с усваиваемым материалом, гештальтпсихологи объясняют этот лишний шаг действием самой по себе формы. Если контекст, который должен быть усвоен (с логической точки зрения даже прежде самого материала), представляет собой "хорошую структуру", рано или поздно он будет усвоен. На стороне субъекта усвоения неявно вводится "лишь" универсальная способность эти структуры усваивать.

Постулирование универсальных орудий (ср. рука как универсальное орудие познания у Э.В. Ильенкова) сразу выводит нас из круга проблем врожденности/приобретенности. Универсальное средство познания превосходит всякую врожденную познавательную способность, как ее понимает, например, К. Лоренц, и в этом смысле понятно, почему Э.В. Ильенков утверждал, что ребенок не имеет врожденных познавательных механизмов, что психика ребенка - tabula rasa, на которой форма самих предметов внешнего мира адекватно запечатлевается в процессе употребления универсального орудия - руки. Постулируя универсальную

37

 

способность, мы, конечно, сталкиваемся с трудным вопросом, каким образом универсальные способности индивидов и видов могут различаться (по степени универсальности?). Тем не менее, отвергнув априорные формы и в то же время приняв аргумент недостаточности опыта, мы должны принять в том или ином виде и универсальность человеческих познавательных способностей5.

Еще Г. Лейбниц понимал врожденные идеи не как актуально присутствующие в психике ребенка сразу после рождения и даже не как созревающие в процессе развития биологического организма, но как актуализирующиеся в процессе развития познающего субъекта. Такое понимание врожденных идей вполне согласуется и с аргументом недостаточности опыта, и с аргументацией против лоренцевского врожденного знания, и с "вторым шагом развития" К. Коффки. Но за эту приемлемость приходится платить постулированием предустановленной гармонии между познаваемым миром и познавательными способностями (вполне универсальными благодаря этой гармонии). Такая позиция, истолковывающая опыт субъекта как "пусковой механизм" актуализации его "предустановленных" (не врожденных, но и не вытекающих непосредственно из опыта) способностей, позволяет понять кажущееся противоречие в высказываниях К. Коффки: с одной стороны, обучение это и есть развитие, а с другой, "шаг в обучении - два в развитии". Вне обучения развитие невозможно, и обучение это единственная форма развития. Но материал обучения недостаточен для развития (недостаточность опыта), он актуализирует "предустановленные" возможности развития. В таком случае мы можем только фиксировать и описывать уровни развития ребенка, уже пройденные и превзойденные самим исследователем. Переход с уровня на уровень может быть прослежен, но условия перехода могут быть описаны только как эмпирические. Например, при достаточно продолжительном воспитании в Женевском Доме ребенка между шестым и девятым годами жизни ребенок овладевает принципами сохранения, которые не являются логическим следствием опыта ребенка, но представляют собой, напротив (и в этом мы полностью согласны с Ж. Пиаже), условия возможности приобретения рационального опыта [10; 243].

Здесь Ж. Пиаже оказывается весьма близок к И. Канту, который, в свою очередь, также делал шаг навстречу психологии, оговариваясь, что для безусловно априорных понятий, "как для всякого знания, можно отыскать, если не принцип их возможности, то все же случайные причины их возникновения в опыте; тогда впечатления, получаемые от чувств, дают первый повод к раскрытию всей познавательной способности" [6, т. 3; 183]. Эту близость отмечал Дж.Х. Флейвелл, который, употребив специальный кантовский оборот, так охарактеризовал работу Ж. Пиаже следующим образом: дело же обстоит так, как если бы философ кантовского толка превратился в генетического психолога и решил изучить основания эпистемологии [15; 56]. Близость станет еще более явной, если учесть, что деятельность рассудка (И. Кант) и интеллекта (Ж. Пиаже) тесно связана с математикой - геометрией для первого и алгеброй для второго. Это обстоятельство чрезвычайно важно для нас. Работа в математических структурах в определенном смысле выглядит эталоном и идеалом деятельности интеллекта (рассудка). Для обоих ученых интеллектуальные (рассудочные) операции не представляют собой изолированные манипуляции с образами или знаками, но тесно связаны с возможными преобразованиями мира (мира явлений) и для обоих их математические схемы представляют собой жесткие образования.

На наш взгляд, напротив, "математические явления", в нашем случае явные признаки овладения каким-то математическим материалом, оказываются в определенной степени пластичными - настолько, что эта пластичность существенна для педагогики. Потратив значительное время на критику буквального априоризма, мы, как нам представляется, избавились от безусловной неизбежности одной (врожденной) математики, соответствующей априорной форме в стиле И. Канта. Однако наша аргументация

 

38

 

не позволяет все же отвергнуть возможность однозначности - в стиле Г. Лейбница. Мы видим теперь, что математические предметы, которыми овладел учащийся, это всегда "вторые шаги в развитии", но насколько они предопределены заранее? Такую предопределенность мы отвергаем прежде всего потому, что различение "натаскивания" и "правильного" обучения представляется нам безусловно адекватным педагогической практике. Речь идет не о доказательстве тезиса, а скорее о взаимном подкреплении (в том самом стиле, о котором говорил Ж. Пиаже в приведенной в начале статьи цитате) решений родственных проблем - эмпирического различия в педагогических результатах и невозможности врожденных идей.

Анализируя воззрения К. Коффки, Л.С. Выготский подчеркивал неоднозначность второго шага развития: обучение вызывает у ребенка к жизни, пробуждает и приводит в движение ряд внутренних процессов развития, поэтому оно не есть развитие, но, правильно организованное, оно ведет за собой детское умственное развитие, вызывает к жизни ряд таких процессов, которые вне обучения вообще сделались бы невозможны [1; 388]. Следовательно, первый шаг обучения ребенка всегда сопровождается вторым шагом развития, только направление этого шага не задается материалом обучения. Натаскивание на решение потому и вызывает негативную реакцию учителей, в чьи руки попадает жертва этого способа обучения, что чаще всего второй шаг оказывается у такого ученика шагом назад.

Как писал О.К. Тихомиров, "Даже в случаях жесткого (поэлементного) управления процессом усвоения мы имеем в качестве прямого результата управляющих воздействий успешно усвоенное знание, а в качестве побочных результатов - связи этого знания с ранее усвоенными, эмоциональные оценки и т.д. Например, сформировав понятие "перпендикуляр", можно в качестве побочного продукта получить негативное отношение учащихся к самой процедуре жесткого управления познавательной деятельностью. Усваивая "внешнее", делая его "внутренним", человек получает еще дополнительные новообразования во "внутренних" условиях" [12; 10]. Более того, по нашему мнению, мы очень часто встречаемся с тем, что негативное отношение распространяется с процедуры "жесткого управления познавательной деятельностью" на сам усваиваемый материал, т.е. в данном примере - на перпендикулярность как таковую. Нет сомнений, что такой "отрицательно нагруженный перпендикуляр" становится на долгое время не элементом "основы" для дальнейшего продвижения ученика, а самым серьезным для него препятствием. Школа П.Я. Гальперина рассматривает такие "внутренние" условия лишь как "энергетические", т.е. имеющие отношение, в основном, к темпу усвоения, отделяя от них содержание знания (это различение сохраняется даже в самых поздних работах) [2; 35]. Так понимаемая математика вполне могла бы быть переведена на язык компьютера и жила бы отдельной от человека жизнью, в виде постоянно растущего списка никому не интересных теорем. Важность целеобразования и постановки задач, как и неалгоритмизируемость этого аспекта деятельности, подчеркивали, например, В.П. Зинченко и О.К. Тихомиров. Мы же утверждаем большее - на одном формальном материале могут строиться, в зависимости от постановки целей, фактически, разные математики.

Если иметь в виду "второй шаг развития", то "перпендикуляр" должен стать для ученика, как сейчас принято говорить, функциональным органом, служащим не только для продвижения в математическом образовании, но и (в согласии с И. Кантом) для интерпретации внешнего мира и извлечения опыта, невозможного в его отсутствие. Таким образом, некоторые энергетические, на первый взгляд, характеристики процесса обучения становятся при более пристальном рассмотрении вполне содержательными, и предметное поле математического образования должно быть расширено. Нельзя сказать, что постановка задач является энергетическим аспектом, надстроенным над зафиксированной с помощью формальных систем математикой. Напротив, если понимать математику в духе А.Н. Леонтьева - как предмет деятельности математика, то тогда мы должны будем утверждать, что математика не исчерпывается своими формализмами, хотя в более узком смысле предметом деятельности математика являются как раз эти формализмы.

 

39

 

С этих позиций мы теперь можем оценить три возможные интерпретации системы А.С. Подколзина. Мы можем рассматривать решатель А.С. Подколзина как:

1. Модель реального решения задач человеком. Принятие такой модели означало бы одновременное принятие модели "натаскивания" для педагогики. В этом случае при обучении терялись бы реальные приемы решения задач, которые на самом деле принципиально невозможно описать точно (можно только сказать, что овладевший такими приемами на "вторых шагах развития" в конкретных ситуациях вновь или даже впервые самостоятельно сконструирует нужный технический прием - вспомним, что всякий прием когда-то был создан впервые).

2. Модель реального решения задач человеком, которая в силу приведенных выше аргументов не может быть принята. В качестве отвергнутой она обеспечивает нам самим "второй шаг развития" в понимании развития ребенка, по крайней мере, в области решения математических задач.

3. Модельный пример научной продукции в сфере интеллектуальных систем. Это весьма ценная работа, способная обеспечить "вторые шаги развития" для студентов, которые посвятят жизнь компьютерным интеллектуальным системам или иной моделирующей деятельности.

 

ИЗБЫТОЧНОСТЬ ЗНАКОВОЙ ФОРМЫ

 

Начиная статью с извлечения из работы Ж. Пиаже о схожести проблем эпистемологии, психологии обучения и эволюционной биологии и следуя, в общем, "в фарватере" трудов швейцарского психолога, мы оставляли в стороне один важнейший для педагогики вопрос - вопрос о мире, в котором развивается ребенок, мире не природном, а культурном.

Мир опосредствующих развитие "культурных предметов", языковых и других знаковых и символических образований играет важную роль в развитии ребенка. Очень интересно раскрывает эту роль Д.Б. Эльконин в работе [17], где знак трактуется как след активности и присутствия Другого - взрослого участника совокупного действия.

Заметим, что и природный мир должен иметь определенные качества, делающие его схожим с миром "культурных предметов". Объясняя познаваемость мира природных явлений, И. Кант сказал об этом так: "Дело же обстоит так, как если бы мир явлений был специально придуман каким-то иным рассудком сообразно нашим познавательным способностям" [6, т. 5; 179]. Иными словами, мир явлений сам по себе должен быть миром "культурных" (в возможности, т.е. инкорпорируемых в культуру) предметов, чтобы мы были способны включать его вместе с его закономерностями в наш культурный мир в качестве познанного (след присутствия и активности Другого?). Это делает осмысленным наше рассмотрение принципиальных вопросов развития вне различия собственно культурного и "культурного" в смысле приведенной выше кантовской цитаты миров. Речь идет о том, что ни уподобление природного мира культурному, ни сам по себе культурный мир не обеспечивают "считывания" знания. Описывая такой процесс в терминах интериоризации, мы рискуем, как пишет В.П. Зинченко, не увидеть за этим реальную драму и загадку развития [3; 8]. Буквальная интериоризация подразумевает, что математические структуры интеллекта, в том числе и собственно математика, являются буквальными слепками с объективных законов физического мира или человеческих схем деятельности в этом мире, но на практике обнаруживается, что это далеко не так. Ж. Пиаже, например, пишет, что x2 это интериоризованное действие x раз взять x. Это, конечно, существенное упрощение, поскольку в такой операции нет ничего, что бы наводило на понятие алгебраической переменной или указывало бы на возможность интерпретации в виде квадрата на плоскости со сторонами, не обязательно измеряемыми целыми числами. Здесь, как и в других случаях, "интериоризация" в знаковую систему также делается "на втором шаге" развития и, тем самым, не предопределена - знаковая форма в определенном смысле избыточна по отношению к "интериоризуемым" операциям.

Даже такой, на первый взгляд, не слишком сложно устроенный предмет, как арифметика натуральных чисел, зафиксированная с помощью развитой знаковой формы, потенциально открывает возможности самых разных продвижений в развитии понятия числа. Поскольку это понятие

40

 

ни в коей мере не является исчерпывающе ясным даже для самих математиков6, мы можем быть уверены, что с какого-то момента эта неоднозначность вторгается уже и в область педагогики. В самой математике отсутствуют формальные критерии единственно правильных трактовок понятий, как и выделения интересных вопросов. Эти трактовки и эти вопросы принадлежат миру смыслов, которым по справедливому замечанию А.Н. Леонтьева, научить нельзя, их можно только воспитывать.

Если речь идет о воспитании будущего теоретика, то "натаскивание" на конкурсные задачи, скорее всего, станет для него препятствием в развитии, причем не в мотивационно-энергетическом аспекте, а в смысле предмета его деятельности. В других случаях дело обстоит каждый раз особым образом. Даже "натаскивание" иногда служит развитию каких-то важных черт личности, правда, не имеющих отношения к математике. Но более интересна для нас возможность иного предмета на том же формальном материале - например, развитие специалиста по интеллектуальным системам с помощью таких доведенных до совершенства эвристических приемов "натаскивания" учителем ученика, с какими мы встречаемся в компьютерном решателе А.С. Подколзина.

Что же касается обучения решению задач, то оно является по нашему мнению, своего рода искусством (не исключающим и систематических компонент), которое заключено между аналитическим расчленением способов решения на реализуемые на компьютере элементы и не касающимися содержания задач общими советами. К первым относятся, например, все удачи эвристического программирования, в том числе и решатель А.С. Подколзина, которые отражают не развитие ученика в процессе обучения, а моделируют и завершают тенденцию к "натаскиванию" на решение этих задач. Подобные программы могут решать задачи лучше любого ученика или играть в шахматы лучше любого гроссмейстера, что не меняет их "натаскивающего" характера. Ко вторым относятся советы, которые можно встретить в книгах по эвристике, приводящих опыт выдающихся ученых как пример для подражания. Как известно, автоморфные функции были открыты А. Пуанкаре, когда он ступил на подножку омнибуса, Г. Гельмгольц делал открытия, медленно поднимаясь на альпийские склоны, а изобретателя подвесных мостов натолкнула на продуктивную идею паутина в саду.

В промежутке между полюсами мы находим место для собственно психологических исследований. Эвристические приемы, достаточно полную типологизацию которых можно найти в книге И.И. Ильясова [5], требуют для своего применения специфического усилия со стороны субъекта (в отличие от приема "возвести обе части равенства в квадрат"). Это приемы типа "найти для данной задачи новый контекст, в котором она имеет решение", или "двигаться от конца к началу", или "сближать данные и цели". Понятно, что найти для задачи адекватный контекст и представляет часто чуть ли не единственную трудность при решении. Однако тот факт, что эвристические приемы мало могут помочь человеку, который решает задачи подобно автомату, не свидетельствует о том, что они вообще не нужны. В той мере, в которой постановка данной задачи перед данным учеником нацелена на развитие последнего, приемы, прямо приводящие к решению, вообще говоря, могут уводить его в сторону от главной цели. Чем более точным и алгоритмичным мы сделаем прием решения, тем, во-первых, он будет более конкретным, т.е. привязанным к содержанию узкого класса задач и, во-вторых, тем ближе окажется овладение этим приемом к полюсу натаскивания. Класс задач, решаемых с помощью этих приемов и рассматриваемый через призму этих приемов, будет не вполне адекватным "измерителем" развития. Более того, успехи анализа решения таких задач, приводящие к все большей алгоритмизации системы приемов, одновременно снижают их ценность в качестве развивающего материала и "измерителя" уровня развития, и возможно, нам придется даже искать принципиально другие способы конкурсного отбора абитуриентов.

 

41

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Мы говорим главным образом о развитии ребенка в процессе обучения математике, но, как представляется, наши аргументы и выводы касаются также и смежных областей.

1. Аргумент недостаточности опыта является важнейшим фактором нашего понимания процессов развития. Этот аргумент выражает фундаментальное свойство моделирования процессов развития - для получения под воздействием эмпирического опыта конкретного нового знания в модели всегда должна быть предположена возможность получения такого знания, что при точной модельной реализации приводит к структурам типа открытых программ К. Лоренца или глубинных структур Н. Хомского, в которых заложены знания более общего типа, чем в их конкретных уточнениях, плюс механизм такого уточнения. При распространении аргумента недостаточности опыта на условия возможности развития (эволюции) самих открытых программ мы получаем бесконечную последовательность охватывающих друг друга все более сложных программ, что указывает рамки применимости аргумента недостаточности опыта (и математических моделей познания) к процессу развития.

2. Отвергая экспансию аргумента недостаточности опыта, но признавая неизбежность его реализации в математических моделях, мы тем самым признаем, что развитие не может быть описано с помощью моделей. Нет смысла говорить о все более точном математическом описании процессов развития, поскольку эмпирическая точность может быть достигнута только за счет введения все более сложного "априорного знания", в котором все конкретные стадии "развития" уже исчерпывающим образом описаны.

3. Независимо от этих рассуждений мы признаем различие форм обучения одному и тому же материалу (например, "натаскивания" на решение задач и правильного развития способностей к их решению).

4. Вместе эти аргументы подтверждают тезис Л.С. Выготского о том, что шаг обучения всегда сопровождается шагом развития, причем качество второго шага зависит не от материала обучения (он составляет материал первого шага), а от организации ситуации обучения и активности самого субъекта обучения. Это качество составляет важный аспект самого предмета обучения, в нашем случае математики. Математика не сводится к усваиваемому формальному материалу, но всегда еще включает и способы возможной работы с ним, и способы возможных его приложений, составляющие смыслы, которым невозможно обучить, но которые воспитываются в процессе обучения.

5. Важнейшая задача математики - развитие познающего субъекта. В частности, некоторые математические модели суть материал для развития наших представлений о развитии.

 

1. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991.

2. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Изд-во МГУ, 1985.

3. Зинченко В.П. От классической к органической психологии // Вопр. психол. 1996. № 6. С. 6 — 25.

4. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Педагогика, 1991.

5. Ильясов И.И. Система эвристических приемов решения задач. М.: Изд-во РОУ, 1992.

6. Кант И. Соч.: В 6 т. Т. 3, 5. М.: Мысль, 1964.

7. Коффка К. Основы психического развития. М.; Л.: Гос. соц. экон. изд-во, 1934.

8. Кричевец А.Н. Об априорности, открытых программах и эволюции // Вопр. филос. 1997. № 6. С. 79 — 91.

9. Кричевец А.Н. Распознавание образов и проблема индукции // Математические методы решения инженерных задач / Под ред. В.В. Блаженкова, А.В. Чечкина. М.: Ракетные войска стратегич. назначения, 1993. С. 78 — 88.

10. Пиаже Ж. Избр. психол. труды. М.: Просвещение, 1969.

11. Подколзин А.С. О моделировании процессов решения математических задач: Докт. дис. М., 1995.

12. Психологические механизмы целеобразования / Под ред. О.К. Тихомирова. М.: Наука, 1977.

13. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2 т. Т 1. М.: Педагогика, 1989.

14. Сергиенко Е.А. Истоки познания: онтогенетический аспект // Психол. журн. 1996. № 4. С. 43 — 54.

15. Флейвелл Дж.Х. Генетическая психология Ж. Пиаже. М.: Просвещение, 1967.

16. Хомский Н. Язык и мышление. М.: Изд-во. МГУ, 1972.

17. Эльконин Б.Д. Л.С. Выготский - Д.Б. Эльконин: знаковое опосредование и совокупное действие // Вопр. психол. 1996. № 5. С. 57 — 63.

18. Chomsky N. Language and nature // Mind. 1995. V. 104. N 413.

19. Popper K. Objective knowledge. An evolutionary approach. Oxford: Clarendon Press, 1972.

 

Поступила в редакцию 8.V 1997 г.



1  К области компьютерной метафоры относится использование не только математических моделей, но и понятий, которые имеют точный смысл лишь в рамках математических теорий. Так, название известной книги «Переработка информации у человека» адресует к математическому понятию информации, а не к обыденному, которое мы встречаем, например, в сочетании «средства массовой информации».

2  Это лишь один аспект кантовского понимания априорных форм. Другой аспект, связанный с их представленностью субъекту в виде чистых созерцаний и схем, мы в силу ограниченности объема статьи не сможем здесь обсуждать.

3 Аналогичные воззрения о врожденности не только конкретных форм поведения, но и полной совокупности их возможных вариаций высказывались также, например, Э.Л. Торндайком,     Дж. Уотсоном, И.И. Шмальгаузеном. Наиболее последовательно эти рассуждения проводятся   в рамках философского направления, получившего название эволюционная эпистемология, к которому, кроме К. Лоренца, относят себя также К. Поппер, известный психолог Д.Т. Кэмпбелл и другие. К.Поппер утверждает, что только тысячная часть знания индивида является не врожденной, а приобретенной, но все условия возможности этого приобретения также врождены [19; 71]. Под такое понимание априорности подводится даже эмпиристский подход   к опыту. Мы соглашаемся здесь с В.В. Давыдовым, который пишет, что классический сенсуализм устанавливает полную идентичность всех элементов содержания мысли (понятий) внешним, непосредственно воспринимаемым общим признакам предмета [4; 71]. Это врожденное соответствие является условием возможного опыта, подпадающим под нашу аргументацию.

4 Такое описание хорошо известно как герменевтический круг.

5 По нашему мнению, сама «универсальная способность» только и может быть понята в противопоставленности к компьютеро-подобной необходимости эксплицитных оснований.

6  Основные математические направления уходящего века (классическое, интуиционизм, конструктивизм) различались прежде всего в трактовке действительного числа.