41

 

СООТНОШЕНИЕ ОБЩИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ МЫШЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

 

Р. АТАХАНОВ

 

В настоящее время имеется ряд исследований, объединенных стремлением к выявлению и описанию психологических характеристик разных типов мышления (эмпирического и теоретического) в русле концепции В. В. Давыдова [5].

Ранние попытки такого рода были связаны с дифференцированием эмпирического и теоретического типов мышления. При этом критерием различения служило умение или неумение детей осуществлять содержательный анализ или рефлексию ([1], [7], [8], [9] и др.). В последующем были исследованы особенности содержательного анализа, планирования и рефлексии, которые составляют психологическое ядро теоретического мышления ([9], [10], [14], [17] и др.). Дальнейшие исследования по этой проблематике связаны с выявлением динамики развития теоретического мышления и с разработкой методик диагностики сформированности его компонентов (см., например, [4], [6], [11], [12], [15] и др.).

Содержательный анализ направлен на выявление существенного в рассматриваемых явлениях. Оно определяется в результате поиска генетически исходного отношения, лежащего в основе функционирования некоторой системы, и абстрагирования его от несущественных ее свойств. Действие планирования проявляется в умении построить такую систему действий, которая является оптимальной в данных условиях для решения задачи. Рефлексия же характеризуется умением человека рассматривать основания своих действий, способов решения

 

42

 

задач. В ходе указанных исследований возникало много вопросов, связанных с соотношением этих мыслительных действий в теоретическом мышлении, с особенностями их проявления на различном предметном материале и на разных возрастных этапах развития детей.

В нашем исследовании [2], [3] на основе рассмотрения имеющихся данных было показано, что эмпирическое мышление проявляется в детском возрасте гораздо раньше, чем теоретическое мышление. Вместе с тем предлагаемые младшим школьникам задания на содержательный анализ, планирование, а также на рефлексию правильно выполнялись все большим числом учащихся от класса к классу. В исследовании Ле Тхи Кхань Кхо [11], проведенном в начальной школе, у детей был установлен переход от эмпирического мышления к теоретическому, а внутри теоретического мышления — переход от аналитического его уровня к рефлектирующему. В исследовании В. В. Давыдова и А. З. Зака показано, что целостное планирование выступало «необходимым уровнем функционирования содержательной рефлексии. В то же время и недостаточным условием, поскольку, как оказалось, не все школьники, продемонстрировавшие при решении задач целостное планирование, осуществляли содержательную рефлексию» [6; 46 — 47].

Действительно, рефлексия становится возможной и обнаруживается тогда, когда человек уже решил задачи, выявил содержащуюся в условии некоторую закономерность и выполнил мысленное планирование. Само планирование на данном материале осуществляется на основе и после успешного его анализа. Все это создает платформу для реализации возможностей человека в рефлексии оснований своих действий и осуществления соответствующего контроля.

Таким образом, успешное выполнение рефлексии (Р) предполагает осуществление содержательного анализа (А) и планирования (П); выполнение планирования предполагает также успешное выполнение содержательного анализа, создает платформу для действий планирования и рефлексии, но не гарантирует их безошибочное выполнение.

Поскольку имеет место именно эта последовательность становления и проявления содержательного анализа, планирования и рефлексии в теоретическом мышлении, то они и приняты нами за основные уровни развития теоретического мышления. Так как неумение осуществлять содержательный анализ свидетельствует об эмпирическом характере мышления человека, то мы получили следующую последовательность основных уровней развития мышления: эмпирический уровень мышления (Э), аналитический уровень теоретического мышления (А), планирующий уровень теоретического мышления (АП), рефлективный уровень теоретического мышления (АПР). Наличие последнего уровня свидетельствует, на наш взгляд, о сформировавшемся теоретическом мышлении.

Наличие того или иного уровня развития мышления «вообще» определялось нами на основе выполнения учащимися блока заданий, входящих в методики, адекватные возрасту учащихся и построенные на неучебном» материале. Это такой материал, который не предусмотрен в программе обучения тому или иному учебному предмету, а усваивается в результате житейского опыта. Результаты выполнения заданий, построенных на неучебном материале, определяют

 

43

 

сформированность у человека общих его возможностей в мышлении и не зависят непосредственно от его образования и объема знаний.

Общие закономерности мышления (мышления «вообще») формируются у школьников под влиянием их обучения различным учебным предметам и в ситуациях житейского опыта. Мышление «вообще» заключается в том, что оно может быть использовано человеком при решении задач с любым содержанием. Выявление уровней развития мышления «вообще» у учащихся осуществлялось вами с помощью заданий диагностических методик «Весы», «Монеты», «Буквы» [11], «Три задачи» [4], а также «Методики АРП» [3].

В ходе исследования среди группы испытуемых, имеющих эмпирический уровень развития мышления, выявились такие учащиеся, которые проявляли несколько большие возможности в решении заданий при помощи экспериментатора. Они обычно адекватно реагировали на его подсказки, более успешно выполняли задания, соответствующие младшим возрастам, в тем самым показывали наличие у них предпосылок перехода к аналитическому уровню теоретического мышления. Такие испытуемые, по нашему мнению, находились на до-аналитическом уровне развития мышления. Ранее аналогичный факт был обнаружен в исследовании Ле Тхн Кхань Кто: она называла «доаналитиками» тех учащихся, кого можно было бы охарактеризовать как обладающих начальными стадиями становления анализа и зачаточными формами рефлексии и планирования [11; 83].

Важнейшими показателями этого уровня развития мышления является наличие у детей возможности выполнять задания на содержательный анализ, адекватные более младшим возрастам, что обеспечивается соответствующим уровнем развития у них планирования и рефлексии. Это позволяет исследовать особенности «зоны ближайшего развития» мышления у того или иного школьника.

Изложенное выше можно изобразить следующей схемой (рис. 1).

 

Рис. I. Последовательность уровней развития мышления «вообще».

 

Зафиксированные уровни развития мышления являются одновременно, на наш взгляд, и этапами становления мышления у школьников. Вместе с тем подлинное развивающее образование должно способствовать переходу школьников с одного этапа развития мышления к другому.

Мышление человека функционирует, имея в своей основе некоторое конкретное предметное содержание, соотносимое с той или иной сферой действительности: мышление «есть процесс непрерывного взаимодействия познающего, мыслящего субъекта с познаваемым объектом, с объективным содержанием решаемой задачи» [16; 12 — 13]. В процессе мышления путем последовательного преобразования данного материала субъект усваивает соответствующие его закономерности. Мысленное преобразование исследуемого объекта приобретает специфические черты в зависимости от материала как содержательной основы функционирования мышления, и поэтому характер такого материала может служить критерием

 

44

 

различения предметных видов мышления: математического, экономического, исторического и т. д.

В основе математического мышления лежит некоторая предметно-содержательная реальность, подлежащая мысленному преобразованию, а его продуктом является новое математическое знание или решение новой математической задачи. Поэтому при работе с математическим материалом выполнение мыслительных действий приобретает специфику, связанную с выявлением количественных отношений, а мышление приобретает тенденцию к оперированию «математизированными» объектами, становится носителем собственного содержания и способов выполнения действий (например, в методике преподавания математики различают такие конкретные формы применения мыслительных действий, как анализ типа «фильтр», метод восходящего анализа, анализ через синтез [13]). Вместе с тем за исключением отдельных систем экспериментального развивающего обучения (В. В. Давыдов [5], Л. К. Максимов [12] и др.), приводящего к развитию теоретического мышления, обычное обучение ориентировано на формирование у школьников мышления эмпирического типа.

Математическое мышление также имеет, на наш взгляд, эмпирический и теоретический типы функционирования и развивается в направлении от эмпирического уровня к рефлективному уровню теоретического мышления. При этом мы исходим из того представления, что неверным является отождествление особенностей мышления, выявляемого на математическом материале, со сформированностью общих возможностей человека в мышлении. Поэтому нами были созданы комплексы методик для диагностики уровней развития мышления «вообще» (на неучебном материале) и для диагностики математического мышления (на математическом материале) [2], [3], [4], [11].

В своем исследовании каждому испытуемому мы предлагали два блока заданий: на определение уровня развития мышления «вообще» и на определение уровня математического мышления (напомним, что уровень развития мышления «вообще» мог быть одним из четырех: эмпирическим, аналитическим, планирующим или рефлективным).

Суммарные результаты исследования показали, что испытуемые с эмпирическим уровнем мышления «вообще» проявили также эмпирический уровень математического мышления (Эм). Поскольку испытуемые по уровню развития мышления «вообще» представляют группу «эмпириков» (такая группа составляла 50, 3% от общего числа 155 испытуемых V— XI классов), то выполнение ими содержательного анализа на математическом материале оказывалось недоступным. У этих испытуемых отсутствовала ориентация на поиск в этом материале какой-либо закономерности, не проявлялось умение формализовать описываемые ситуации с помощью математических символов и последующее их использование как материала мысли.

Эмпирический уровень математического мышления (Эм) был обнаружен также у части испытуемых, проявивших аналитический, планирующий и рефлективный уровни мышления «вообще» (соответственно у 88, 9; 55, 2 и 34, 6% от числа испытуемых этих уровней). Для этих групп школьников характерно то, что содержательный анализ математического материала обнаруживался у них на заданиях, предназначенных для более раннего возраста. Это свидетельствует об отставании

 

45

 

развития математического мышления от существующего темпа обучения математике как учебному предмету, и оно наиболее конфликтно выражено у учащихся с рефлективным уровнем развития мышления «вообще». Все учащиеся уровня Эм составили 78, 1% от общего числа 155 испытуемых (121 учащийся V—XI классов).

Среди учащихся, проявивших эмпирический уровень мышления «вообще», отсутствуют дети с аналитическим уровнем математического мышления. Этот уровень проявился лишь у части школьников, которые находились на аналитическом, планирующем и рефлективном уровнях теоретического мышления «вообще».

Аналитический уровень математического мышления (Ам) проявили лишь двое (1, 3%) учащихся с аналитическим уровнем мышления «вообще» (остальные 16 испытуемых — 88, 9%, как мы уже указывали, находились на эмпирическом уровне развития математического мышления). Эти учащиеся уже при решении первых двух-трех математических задании устанавливали заложенный в них принцип и успешно применяли его при выполнении последующих заданий, что служит признаком умения осуществлять содержательный анализ. Подобный подход к решению качественно отличается от способа выполнения этих заданий учащимися, имеющими эмпирическое математическое мышление.

Уровень Ам обнаружили также учащиеся с планирующим и рефлективным уровнями мышления «вообще» (соответственно 2, 6 и 1, 3% от общего числа испытуемых). Возможности этих учащихся были не реализованы при изучении ими математики.

Планирующий уровень математического мышления (АмПм) обнаружили учащиеся, имеющие планирующий и рефлективный уровни мышления «вообще» (соответственно 5, 8 и 1, 3% от общего числа испытуемых). Рефлективный уровень математического мышления (АмПмРм) обнаружили 12 из 25 испытуемых, которые находились на таком же уровне мышления «вообще», что составляет 7, 7% от общего числа испытуемых.

Анализ выполнения испытуемыми математических заданий позволил нам выявить психологические особенности применяемых ими способов решения [3]. Рефлексирующий уровень математического мышления характеризуется теоретическим типом ориентации в математическом материале. Это проявляется в самостоятельном и правильном выполнении содержательного анализа, планирования и рефлексии при выполнении заданий математического содержания:

1) наличие ориентации на общее математическое отношение, что выражается в содержательном анализе первых заданий и в последующем использовании выявленного отношения;

2) свернутое выполнение действий в уме и их соотнесение с условиями заданий;

3) построение рассуждений в соответствии со способом решения заданий;

4) осуществление самоконтроля и оценки но выявленному способу решения заданий.

Приведенные данные показывают, что число учащихся, имеющих эмпирическое математическое мышление по сравнению с числом учащихся, имеющих эмпирическое мышление, «вообще», увеличивается за счет перераспределения и «перехода» части испытуемых с уровня А на Эм, с уровня АП на уровни Эм и Ам, с уровня АПР на уровни Эм, Ам и АмПм. Это, соответственно, приводит к сокращению числа учащихся, имеющих аналитический,

 

46

 

планирующий и рефлективный уровни математического мышления по сравнению с числом учащихся, имеющих эти же уровни мышления «вообще». Такое перераспределение и «переход» осуществляется, как правило, в одном направлении — от любого уровня мышления на неучебном материале к более низкому уровню математического мышления.

Это означает, что самый высокий уровень развития математического мышления ограничивается уже сформировавшимся уровнем развития мышления «вообще». Изложенное наглядно представлено на рис. 2, где на горизонтальной оси обозначены уровни развития мышления «вообще», а от каждого из них по вертикали обозначены уровни математического мышления в последовательности их развития.

Дальнейший переход учащихся от одного уровня развития математического мышления к другому возможен в направлении от Эм к Ам, АмПм и АмПмРм или непосредственно, или через формирование уровней А, АП и АПР теоретического мышления.

Таким образом, в пределах каждого уровня развития мышления «вообще» ряд уровней математического мышления связаны друг с другом, и в этих случаях возможен непосредственный переход от одного уровня развития математического мышления к другому: например, в пределах уровня А от Эм к Ам, в пределах АП от Эм к Ам и АмПм, в пределах уровня АПР от Эм к Ам, АмПм и АмПмРм. Переход от уровня Э к А, от А к АП и от

 

Рис. 2. Взаимосвязь уровней развития мышления «вообще» и математического мышления.

 

 

47

 

АП к АПР осуществляется также непосредственно. Но, например, если некоторый ученик находится на уровне Ам в пределах уровня А, то его «переход» на уровень АмПм можно обеспечить только через формирование уровня АП — в этом случае непосредственный переход от Ам к АмПм оказывается неосуществимым.

Таким образом, при одном и том же уровне развития мышления «вообще» у группы учащихся можно увидеть различные уровни развития и сформированности математического мышления.

Можно предположить, что возможное распределение и темпы перехода от одного уровня развития мышления к другому обусловлены социально-психологическими факторами, в том числе особенностями содержания обучения и организации учебного процесса. Собственно актуальный уровень развития мышления в свою очередь предопределяет особенности организации учебного процесса — от предъявления набора инструкций эмпирику до предъявления набора требований (формирования условий задачи) рефлективному.

Вместе с тем имеется значительное число учащихся с эмпирическим уровнем мышления «вообще», которые и в последующем остаются на этом уровне. Часть этой категории учащихся может достигнуть значительных успехов в учебной и профессиональной деятельности, опережая порой представителей более высоких уровней развития мышления. Они достигают такого положения на фоне сформировавшегося уровня мышления благодаря их познавательным, мотивационным и эмоционально-волевым индивидуальным особенностям, которые создают как бы платформу для компенсации недостаточного уровня развития мышления «вообще».

Изложенное позволяет выдвинуть положение, касающееся ограниченности возможностей мышления школьников и компенсации этой ограниченности. На наш взгляд, личностные компенсаторные возможности человека, на каком бы уровне развития мышления он ни находился, обеспечивают ему достижение значительных успехов в практической деятельности путем более эффективной организации всех его познавательных возможностей и других особенностей личности.

Реальные условия обучения и воспитания в общеобразовательной школе приводят к большому разнообразию показателей умственного развития детей. Актуальный уровень развития мышления «вообще» представляет собой реальные умственные возможности школьников, за которыми могут быть скрыты их потенциальные возможности. Эти реальные и потенциальные возможности мышления могут обнаруживаться, в частности, при обучении детей математике. Мера реализации учащимися своих умственных возможностей может охарактеризовать успешность организации обучения математике в любом возрасте. Данные, приведенные в табл. 1, дают сравнительную характеристику уровней мышления «вообще» и математического мышления в зависимости от реальных условий организации учебно-воспитательного процесса.

Рассмотрение материалов таблицы показывает, что учащиеся III класса московской экспериментальной средней школы-гимназии № 91, находящиеся на теоретических уровнях развития мышления «вообще», проявили также теоретические уровни математического мышления. Аналогичные данные получены и в IV классе этой школы с незначительной разницей

 

48

Таблица

 

Распределение учащихся по уровням развития мышления (в%)

 

 

лишь в числе проявивших эмпирический уровень мышления «вообще» (26, 3%) и эмпирический уровень математического мышления (31, 6%).

Эти данные при сравнении с данными последующих обычных классов подтверждают тот известный факт, что развитию теоретического мышления способствует специальная организация учебной деятельности младших школьников [5].

Данные по учащимся трех Х классов также демонстрируют зависимость уровня умственного развития школьников от конкретных условий обучения. Во всех трех Х классах основную массу учащихся составляют представители теоретических уровней мышления «вообще» (87, 5; 80 и 75%). Такие уровни математического мышления проявили соответственно 25, 50 и 62, 5% учащихся этих классов. В двух математических Х классах показатели теоретических уровней математического мышления заметно превышают соответствующие показатели обычного Х класса. Во всех обычных классах, независимо от возраста учащихся, наблюдается разное распределение учащихся по уровням математического мышления, обусловленное конкретными условиями обучения.

Таким образом, в зависимости от эффективности организации и воспитания в школе и в данном классе обнаруживается разное распределение учащихся по уровням развития мышления. Это распределение характеризует меру реализации учащимися своих возможностей и дает учителю надежное основание для постановки вопроса о реализации дифференцированного и индивидуального подхода к обучению конкретного ученика или группы учащихся. Замечено, что к

 

49

 

X - XI классам наступает относительная стабилизация распределения учащихся по уровням развития мышления порядка 50% на эмпирический и 50% на теоретический его тип. Поскольку до IX класса происходит интенсивное становление интеллектуальных возможностей школьников, то стратегия и тактика реализации возможностей учащихся имеет и отличительные черты, связанные с акцентированием внимания на преобладание развивающих заданий или на дальнейшее закрепление знаний и навыков.

Проведенное исследование показало, что ограниченность эмпирического мышления преодолевается путем выхода за его пределы, путем перехода в сферу теоретического мышления. Осуществление содержательного анализа обеспечивает становление аналитического уровня теоретического мышления. Этим создаются предпосылки для формирования других его уровней — планирующего и рефлективного.

Общие закономерности мышления при работе с математическим материалом приобретают специфику, связанную с оперированием количественными и пространственными отношениями действительности. Это дает основание рассматривать математическое мышление как частный вид мышления, который осуществляется на материале количественных отношений действительного мира.

Полноценным теоретическим математическим мышлением является его рефлективный уровень, базирующийся на таком же уровне развития мышления «вообще». Он характеризуется самостоятельным выполнением учащимися заданий, требующих выделения генетически исходного отношения, правильного построения в уме последовательности действий по решению задачи, свернутости их выполнения, а также осуществление самоконтроля по выявленному способу решения задачи. Этот уровень математического мышления обнаружен у 7, 7% из 155 испытуемых (по 7, 1% составили представители аналитического и планирующего уровней).

У значительной части учащихся (78, 1%) выявлено эмпирическое математическое мышление, которое может быть присуще как учащимся с эмпирическим, так и с аналитическим, планирующим и рефлективным уровнями мышления «вообще». Наоборот, эмпирическому уровню мышления «вообще» соответствует лишь эмпирический уровень математического мышления.

Каждый из теоретических уровней развития мышления «вообще» соотносится с разными уровнями математического мышления: аналитическому уровню соответствуют эмпирический и аналитический, планирующему — эмпирический, аналитический и планирующий, а рефлективному — эмпирический, аналитический, планирующий и рефлективный уровни математического мышления.

Установлено, что уровни развития математического мышления не могут предварять уровни развития мышления «вообще». Это ограничивает возможности развития математического мышления. В зависимости от продолжительности сохранения того или иного уровня мышления его ограниченность можно компенсировать развитием у учащегося других его познавательных возможностей (например, памяти) и личностных особенностей, позволяющих обеспечить достижение учащимся значительных успехов в практической деятельности.

Последовательность уровней мышления «вообще» А—>АП—>АПР и последовательность

 

50

 

уровней математического мышления Ам—>АмП—>АмПмРм являются этапами становления мышления. Их можно рассматривать как последовательность этапов перехода ученика с одного уровня развития мышления на другой, что создает определенную научную и практическую платформу для реализации зоны ближайшего развития мышления школьников.

 

1. Амуд В. Л. Соотношение эмпирического и теоретического обобщения в умственной деятельности младших школьников // Психолого-педагогические проблемы обучения и воспитания / Под. ред. В. В. Давыдова и Д. И. Фельдштейна. Душанбе, 1974. Ч. 1. С. 3 — 20.

2. Атаханов Р. К диагностике развития математического мышления // Вопр. психол. 1992. № 1 — 2, С. 60 — 67.

3. Атаханов Р. Уровни развития математического мышления / Под ред. В. В. Давыдова. Душанбе, 1993.

4. Гончаров В. С. Типы мышления и учебная деятельность: Пособие к спецкурсу. Свердловск, 1988.

5. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического к экспериментального психологического исследования. М., 1986.

6. Давыдов В. В., Зак А. З. Уровень планирования как условие рефлексии // Проблемы рефлексов. Современные комплексные исследования. Новосибирск, 1987. С. 43 — 49.

7. Давыдов В. В., Пушкин В. Н., Пушкина А. Г. Зависимость развития мышления младших школьников от характера обучения // Вопр. психол. 1972. № 6. С. 124 — 132,

8. Заика Е. В. , Иванова Е. Ф. Об одной методике диагностики теоретического я эмпирического типов мышления // Психологические проблемы диагностики: Сб. научн. трудов / Под ред. И. С Роговина, Л. И. Урванцева. Ярославль, 1985. С. 44 — 49.

9. Зак А. З. Исследование типов мышления у младших школьников // Новые исследования в психологии. 1978. № 1 (18). С. 57 — 61.

10. Исаев Е. И. Психологическая характеристика способов планирования у младших школьников // Вопр. психол. 1984. № 2. С. 52 — 60.

11. Ле Тхи Кхань Кхо. Динамика умственного развития младших школьников в разных условиях обучения: Дис. канд. М. , 1985.

12. Максимов Л. К. Формирование математического мышления у младших школьников: Учебное пособие по спецкурсу. М., 1987.

13. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебник для студентов физ.-мат. ф-тов пед. ин-тов / В. А. Оганесян, Ю.М. Колягин. Г. Л. Лукансин. В. Я. Саннинский. 2-е изд., перераб. и доп. М., 1989.

14. Носатов В. Т. Психологическая характеристика анализа как основы теоретического обобщения // Вопр. психол. 1978. № 4. С. 46 — 54.

15. Психическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование  / Под ред. В. В. Давыдова. М., 1990.

16. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.

17. Рякина С. В. Психологические особенности действия анализа у детей (на материале решения задач школьниками 8 — 11 лет): Дис. канд. М. , 1987.

 

Поступила в редакцию 24. I 1995 г.