Вы находитесь на сайте журнала "Вопросы психологии" в восемнадцатилетнем ресурсе (1980-1997 гг.).  Заглавная страница ресурса... 

60

 

К ДИАГНОСТИКЕ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

 

Р.А. АТАХАНОВ

 

При исследовании математического мышления В. А. Крутецкий в качестве основной способности выделил «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» [7; 389]. Он обнаружил два способа обобщения: постепенное, когда учащийся приходит к обобщению в результате длительного решения однотипных задач, а также обобщение «с места», когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа решения одной задачи. В. В. Давыдов показал, что первый способ обобщения есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй способ — теоретическое обобщение. Эти виды обобщения и обусловливают особенности двух типов мышления — рассудочно-эмпирического и теоретического [3], [4; 152—153].

Специальное исследование математического мышления в контексте учения о типах мышления проведено Л. К. Максимовым. С его точки зрения, особенности теоретического мышления обеспечивают школьникам возможность более широкой ориентации в математическом содержании [10; 20—21]. Л. К. Максимов разработал методики, позволяющие выявить особенности проявления мыслительных действий анализа, рефлексии и планирования на математическом материале.

Л. К. Максимов полагает, что вопрос о развитии математического мышления решается выявлением особенностей развития (наличия или отсутствия) этих компонентов математического мышления [10; 56—57]. Полученные им данные свидетельствуют, что эмпирический уровень математического мышления имеет более раннее, а теоретический уровень более позднее возрастное проявление: например, число учащихся обычных классов, правильно выполнивших задание на рефлексию, возрастает от 8,1 % во II классе до 13,5 % к III классу [10; 68]. Аналогичные данные приводит и А. З. Зак: число учащихся, проявивших содержательную рефлексию, возрастает от 10 % во II классе до 33 % в III классе [12; 96]. Это дает основание предположить, что имеется определенный период перехода индивида от эмпирического уровня развития математического мышления к теоретическому. Последнее положение выражает тенденцию направленности развития математического мышления, которая заключается в переходе от рассудочно-эмпирического уровня его проявления к теоретическому уровню.

Существование такого перехода подтверждается результатами ряда исследований. Например, в одной работе [8] были выделены четыре группы испытуемых, каждая из которых, независимо от содержания решаемой задачи, имела некоторые общие особенности мышления: 1) эмпирический способ ориентации в условиях задачи — имеются зачаточные формы анализа, отсутствуют рефлексия и планирование; 2) эмпирический способ ориентации в условиях задачи — имеются зачаточные формы рефлексии и планирования, начальные стадии становления анализа; 3) теоретический способ ориентации в условии задачи — имеется относительно развитое действие анализа, наблюдается процесс становления рефлексии и планирования (это группа «аналитиков»); 4) теоретический способ ориентации в условиях задачи — проявляется относительно высокий уровень развития анализа, рефлексии и планирования (это группа «рефлексирующих»).

В работе Е. И. Исаева [6] было выявлено, что рефлексирующему уровню развития теоретического мышления предшествует планирующий уровень, который, в свою очередь, следует

 

61

 

за аналитическим уровнем. На основе данных нашего исследования, полученных при разработке методики выявления уровня сформированности анализа, планирования и рефлексии («Методика АРП») [1], было установлено, что теоретический тип мышления следует за эмпирическим мышлением и имеет внутри себя три четко выраженных уровня: уровень осуществления анализа (А), уровень осуществления анализа и планирования (АП) и уровень осуществления рефлексии, предполагающий наличие анализа и планирования (АРП), что и является собственно теоретическим мышлением.

«Методика АРП», составленная на основе одной из методик исследования теоретического мышления [5; 37— 40], состоит из трех блоков задач, правильное решение которых свидетельствует о наличии анализа, планирования и рефлексии. Неправильное решение хотя бы одной задачи блока характеризуется как отсутствие соответствующего мыслительного действия, а отсутствие содержательного анализа классифицируется как эмпирическое мышление. Таких испытуемых, по нашим данным, оказалось достаточно много: 83,3 % третьеклассников и порядка 40 % учащихся IX класса и студентов 2—4 курсов (табл. 1).

Задачи на содержательный анализ правильно решили 8,4 % третьеклассников, 53,8 % девятиклассников, 40,7 % студентов 2-го курса и 57 % студентов 3 и 4-х курсов. Они распределяются на три группы: тех, кто правильно решил только задачи на анализ; тех, кто правильно решил задачи на анализ и планирование, и тех, кто правильно решил задачи на анализ, планирование и рефлексию, проявив тем самым сформировавшееся теоретическое мышление. Последних немного: от 9,9 % до 14 % у девятиклассников и студентов, в III классе такие не обнаружены. Встречаются редко и случаи, когда испытуемые правильно решают задачи на планирование или рефлексию, не справившись с задачами на содержательный анализ. Эти случаи требуют дополнительного обследования; оказывается, что они в основном вызваны случайными факторами.

 

Таблица 1

 

Последовательность уровней развития мышления (приведены абсолютные данные, а в скобках — их значение в %)

 

Категория испытуемых

Число испытуемых

Уровни развития мышления

Эмпирическое мышление (отсутствие А, П и Р)

проявили сформированность

Случаи не-совпадения последова-тельности А, П и Р

 

А

 

АП

 

АРП

 

Учащиеся III класса

 

 

24

 

20

(83,3)

 

1

(4,2)

 

1

(4,2)

 

-

 

2

(8,3)

 

Учащиеся IX класса

 

 

26

 

11

(42,3)

 

3

(11,5)

 

8

(30,8)

 

3

(11,5)

 

1

(3,8)

 

Студенты 2 курса

 

 

91

 

43

(47,2)

 

10

(11,0)

 

18

(19,8)

 

9

(9,9)

 

11

(12,1)

 

Студенты 3 и 4 курсов

 

 

107

 

37

(34,6)

 

21

(19,6)

 

25

(23,4)

 

15

(14,0)

 

9

(8,4)

 

Приведенные данные позволяют полагать, что эмпирическое мышление предшествует теоретическому мышлению, выражаясь в отсутствии А, П, Р, а зарождение теоретического мышления начинается со становления его аналитического уровня. Поэтому можно выделить следующие четыре уровня развития мышления: 1) эмпирическое мышление (доаналитический уровень);

 

62

 

2) аналитический уровень теоретического типа мышления; 3) планирующий уровень теоретического типа мышления; 4) рефлексирующий уровень теоретического типа мышления (собственно теоретическое мышление).

С помощью указанной методики, а также ряда других, таких, как «Анаграммы», «Три задачи» [2; 26—27], были обследованы 26 учащихся одного IX класса средней школы № 76 Душанбе, которые распределились следующим образом по особенностям умственного развития: доаналитический уровень — 12 человек, аналитический уровень (А) — 3 человека, планирующий уровень (АП) — 8 человек, рефлексирующий уровень (АРП) — 3 человека. Мы полагали, что такое распределение учащихся должно проявиться независимо от характера диагностического материала; при этом, разумеется, успешность продвижения учащегося в усвоении некоторого учебного предмета зависит от его активности в усвоении соответствующих знаний.

С целью определения уровня развития математического мышления применялась система методик, построенных на математическом материале. К ним относятся задания Л. К. Максимова «Единицы» и «Семь задач» [9], [10] и некоторые математические задачи, использованные в исследованиях [7] и [5], а также ряд заданий, составленных автором и его коллегами. Л. К. Максимов обосновывает целесообразность использования методик, построенных по следующей схеме: а) предлагается определенное множество задач, каждая из которых допускает различные способы решения; б) эти задачи имеют единый принцип решения, и обнаружение испытуемым этого принципа служит основанием для вывода о наличии у него теоретического подхода к решению задач; если испытуемому не удается обнаружить этот принцип, то можно утверждать о проявлении эмпирического подхода к решению задач.

Выполнение подобных заданий становится возможным, если испытуемые «обладают способностью: планировать выполнение пробующих действий, производя их контроль и оценку применительно к условиям, в которых задана достигаемая цель; фиксировать и отделять (моделировать) от конкретных условий способы их преобразования, вычленять в них существенное, определять принципы решения; выполнять контроль и оценку принципов решения задач применительно к новым условиям действий» [10; 79].

При построении системы экспериментальных исследований мы исходили из предположения, что существует такое содержание заданий, построенных как на неучебном, так и на учебном (математическом) материале, которое позволяет оценивать уровень развития мышления в каждом данном возрасте. Это предположение служит основой возникновения методики, которая адекватна возрасту. Подбор и составление блоков адекватных методик может служить средством диагностики развития мышления на определенном возрастном этапе. Она дает возможность однозначного разведения учащихся по признакам эмпирического или теоретического развития мышления. Этот же блок заданий для испытуемых более старшего или младшего возраста окажется неадекватным, т. е. или слабым, или сильным.

Поиск методик определения уровня развития содержательного анализа, планирования и рефлексии, адекватных возрасту, осуществляется на основе понимания того, что каждое конкретное задание должно выявлять сформированность того или иного мыслительного действия на неучебном и на математическом (или другом предметном) материале, а набор подобных методик должен способствовать установлению сформированности эмпирического или теоретического типа мышления и их переходных форм. При этом в качестве ориентиров служили упомянутые методики, апробированные в разных исследованиях.

Важным моментом в экспериментальных исследованиях было также установление взаимной согласованности методик, построенных на неучебном и математическом материале. Например, по нашим данным, методика

 

63

 

«Три задачи» [2], выявляющая третий, четвертый и пятый уровни планирования по [11], является адекватной для учащихся VII—IX классов на четвертом уровне и для учащихся Х—XI классов и далее — на пятом уровне планирования (внутреннего плана действий). Соответственно «Методика АРП» выявляет планирование (АП) на четвертом уровне и подтверждает наличие планирования на пятом уровне. Методика «Открытый конверт», составленная на основе одноименной методики Э. З. Усмановой [13; 81—84], выявляет развитие планирования, соответствующего третьему уровню, т. е. она является адекватной для учащихся IV—V классов и явно слабой для учащихся VIII—IX и более старших классов.

Аналитический уровень развития математического мышления устанавливается на основе решения испытуемыми ряда заданий математического содержания. Основой их построения и применения, как и методики «Единицы», является наличие общего принципа решения, возможность нахождения испытуемыми этого принципа при решении одной — двух задач и его правильное применение в решении последующих задач. В другом варианте составления заданий на выявление содержательного анализа может быть использована одна задача, для решения которой необходимо сразу выявить существенное отношение, лежащее в основе способа решения. Таким заданием, например, является задача: «Боковая сторона равнобедренного треугольника вдвое больше его основания. Периметр равен 45 см. Найти величину сторон» (задание «Периметр — А») [7; 143— 144].

С целью выявления особенностей проявления математического мышления нами из указанных выше 26 девятиклассников были отобраны 12 учащихся: два из трех, показывающих аналитический уровень (А), пять из восьми, показывающих планирующий уровень (АП), три, показывающих рефлексирующий уровень (АРП), а также два (из 13), показывающих доаналитический уровень.

Сформированность аналитического уровня математического мышления определялась по особенностям выполнения испытуемыми указанных выше заданий: четверым учащимся не удалось выполнить содержательный анализ предложенного задания, а восьми испытуемым это удалось.

Восьми испытуемым, проявившим аналитический уровень математического мышления (А), были предложены задания на установление наличия его планирующего уровня. С этой целью испытуемым предлагалась методика «Арифметические задачи» [5; 25—30] , которая оказалась адекватной учащимся VIII—IX классов. Это задание не могли выполнить те испытуемые, мышление которых ограничивалось уровнем А, правильно выполнившие задание на содержательный анализ математического материала, а также некоторые из тех, кто проявлял уровень АП. Таких испытуемых мы отнесли к группе обладающих содержательным анализом на математическом материале (Ам), причем этот уровень оказывается не выше соответствующего уровня развития мышления по методике АРП (из двух испытуемых, ограниченных уровнем Ам, один ранее проявлял уровень А, а другой — уровень АП по методике АРП).

Дифференциация шести оставшихся испытуемых продолжалась посредством предъявления задания математического содержания методики «Семь задач» [2], [10]. Это задание не вызвало особых затруднений у учащихся IX класса: с ним успешно справлялись и многие из обладающих уровнем АП. Таких испытуемых было 6 (из 12). Им было предложено задание математического содержания «Периметр — Р», правильное выполнение которого требовало развитого самоконтроля: «Периметр прямоугольного треугольника равен 3,72 м. Две его стороны по 1,24 м каждая. Найти третью сторону» [7; 150]. Все эти испытуемые правильно решили задачу: 3,72—1,24 × 2 = 1,24 м, но на подсказку «Ты не учел, что треугольник прямоугольный» немедленно и верно реагировали только

 

64

 

те трое испытуемых, которые находились на уровне АПР по соответствующей методике. (Заметим, что у них высоки результаты выполнения интеллектуального теста Равена — 44, 50 и 52 балла.)

Испытуемые VIII—IX классов, находящиеся на уровне АмРмПм (собственно математическое мышление), смогли выполнить методику «Единицы» с подсказкой, что не удалось испытуемым, показывающим уровни до А, Ам, АП, АмПм. Это дает основание предполагать, что методика «Единицы» требует выполнения содержательного анализа, опирающегося на достаточно высокий уровень развития планирования и рефлексии, поэтому она оказалась в принципе не доступной учащимся начальных и V—VII классов в наших исследованиях.

Таким образом, из 12 учащихся IX класса, привлеченных для определения уровня развития их математического мышления, четверо проявили доаналитический (эмпирический) уровень, двое — аналитический, трое — планирующий и трое — рефлексирующий уровень.

По имеющимся данным, в начальных классах содержательный анализ формируется у значительного числа учащихся в ситуации экспериментального обучения (Л. К. Максимов) и заметно меньше в ситуации традиционного обучения. Становление возможностей планирования, основанного на содержательном анализе, приходится в основном на V—VIII классы, а дальнейшее развитие интеллекта связано со становлением рефлексии, основанном на содержательном анализе и планировании в старших классах. При этом наблюдается значительное замедление темпа развития и потеря динамичности: нам пока не удалось заметить сколько-нибудь резкое увеличение уровня АПР на разных контингентах испытуемых в возрасте 16—18 лет и старше.

Уровни развития мышления, выявляемые на неучебном и на математическом материале, не всегда совпадают. В пределах контингента испытуемых, обсуждаемых в данной статье выявилось пять таких случаев: уровень А на неучебном материале и отсутствие Ам (двое испытуемых), уровень АП — наличие Ам (двое испытуемых) и уровень АП — отсутствие Ам (один испытуемый). Отсюда видно, что уровень математического мышления учащихся может оказаться обычно на один порядок ниже уровня, проявляемого на неучебном материале.

Рассмотрение особенностей выполнения заданий математического содержания показывает, что проявление сравнительно низких возможностей учащихся связано с недостаточностью или с отсутствием математических знаний, которые могли бы служить содержательной основой функционирования мышления. Например, несмотря на относительную доступность математической задачи: «Боковая сторона равнобедренного треугольника вдвое больше его основания. Его периметр равен 45 см. Найти величину сторон» испытуемые затрудняются в установлении связи между периметром и сторонами треугольника: встречались решения вида х+2х=45, (2х+х)·2=45, 45=сbа и т. д. Здесь явно прослеживается понимание необходимости анализа, но проявляется неверное его осуществление, обусловленное недостатками в формировании понятий равнобедренности треугольника, периметра как суммы всех (трех) сторон, что не дает возможности содержательного анализа ситуации. Анализ множества подобных случаев дает основание предполагать, что важным и решающим моментом в переходе учащихся от одного уровня развития математического мышления к другому является усвоение ими содержания математического знания. В этом смысле развитие математического мышления социально обусловлено: ведущим в нем является развитие математического содержания, усваиваемого учащимися. Последнее, вероятно, и будет определять суть развития математического мышления. Это положение требует экспериментальной проверки и теоретического обоснования в дальнейших исследованиях.

Наблюдение за успешностью учебной работы учащихся, характеризующихся

 

65

 

тем или иным уровнем развития мышления, показывает, что «доаналитику» учеба удается с гораздо большим трудом, нежели «рефлексирующему». Возможности для дальнейшего развития этих учащихся также различны: естественно полагать, что учащиеся, находящиеся на рефлексирующем уровне развития мышления, имеют в данный момент больше возможностей в усвоении знаний и выработке учебных навыков по сравнению с теми, кто находится на другом уровне развития мышления. Мы уже упоминали, что рефлексирующий уровень может устанавливаться по возможности учащихся в правильной переориентации (нахождении своей ошибки) по подсказке. Испытуемым, находящимся ниже рефлексирующего уровня, такая подсказка не помогла найти верное решение. Поэтому независимо от характеристики успешности учебной работы в принципе в мышлении сохраняется творческий потенциал учащихся рефлексирующего уровня, ограниченный формализм у учащихся доаналитического уровня и сравнительно ограниченные возможности представителей других уровней.

Следует иметь в виду два важных обстоятельства, последующее исследование которых внесет существенные дополнения в наши рассуждения.

Во-первых, составление и использование заданий, ориентированных на фиксацию предметно-действенного и наглядно-образного уровней проявления в каждом из четырех указанных уровней развития мышления позволит уточнить наши представления о внутренних механизмах их становления. Мы же пока ограничивались обсуждением результатов выполнения заданий в текстовой (словесно-знаковой) форме. Есть основание предполагать, что формирование мышления на всех уровнях его развития имеет последовательность проявления от предметно-действенного к словесно-дискурсивному, т. е. таким образом эти уровни проявления мышления суть одновременно этапы формирования и становления (зарождения) анализа, планирования и рефлексии.

Например, наблюдались случаи, когда испытуемому удавалось решить задачу лишь на предметно-действенном или наглядно-образном уровне; некоторые испытуемые при решении задачи, предложенной в текстовой форме, пытались самостоятельно каким-то образом моделировать ситуацию (выполнить рисунок, чертежи, схему и т. д.). Следовательно, формирование мыслительных действий анализа, планирования и рефлексии предполагает обучение учащихся соответствующим операциям в соответствии с указанной последовательностью уровней проявления мышления и способов предъявления материала.

Имеющий место разброс данных, относящихся к одному и тому же психологическому явлению в исследованиях разных авторов, обусловлен множеством факторов, в том числе способом предъявления задания и фиксируемым уровнем проявления мышления, а также адекватностью методик. Например, в исследованиях А. З. Зака применительно к третьим обычным классам получены данные по формированию теоретического анализа, находящиеся в пределах 12—58 % [12; 83], в других исследованиях: 22 % [8; 102], 18,7%, [10; 74] и т. д.; у нас получены данные еще более низкого порядка.

Во-вторых, все случаи отсутствия содержательного анализа мы зафиксировали в качестве доаналитического (эмпирического) уровня. Их число значительно: по данным методики АРП они составляют 83,3 % для третьеклассников, 42,3 % для девятиклассников и 40,4 % для студентов. Наблюдения показывают, что значительная часть «эмпириков» обучается не хуже, а иногда и лучше «теоретиков». Но мы уже отметили главную особенность различия их интеллекта: формализм, ригидность, ориентированность на сформированность навыков, приближение характеристики мышления к содержанию знаний, с одной стороны, и творческий характер интеллектуальной деятельности — с другой.

Как известно, психологической основой дифференцирования эмпириков и теоретиков является направленность

 

66

 

их познавательной активности на выделение несущественных или существенных признаков, свойств, связей. Само существование эмпирического анализа предполагает возможность усвоения и выбора определенной последовательности выполнения различных мыслительных действий, а также их контроля по выбранному несущественному основанию. Такое формальное (эмпирическое) планирование и рефлексия, вероятно, существуют, представляя собой относительно развитые ступени доаналитического уровня развития мышления. Очевидно, они будут качественно отличаться от оценки отсутствия планирования и рефлексии при сформированности аналитического (А) и планирующего (АП) уровней развития мышления.

В этом смысле, например, формальная рефлексия и содержательная рефлексия вряд ли рядоположены [12; 72—73]. Несформированность рефлексии должна иметь разное смысловое значение в зависимости от того, о каком уровне развития мышления идет речь: доаналитическом, аналитическом или планирующем.2

Решение актуальных задач обучения и воспитания, связанных с формированием и усилением творческих возможностей, требует дифференцированного подхода к учащимся. По отношению к одним учащимся прежде всего потребуется работа по изменению их отношения к учению, в другом случае потребуется изменение типа мышления, что приводит к необходимости применения существенно иных способов педагогического воздействия. Поэтому более правильным подходом к решению проблемы дифференциации учащихся является выделение их групп по признаку уровня интеллектуального развития при разработке для каждой из них необходимых и особых способов работы и рекомендаций. Это, очевидно, может служить определенной основой для организации работы с одаренными детьми.

Таким образом, применение методик диагностического характера, построенных на неучебном материале и на материале математики, позволяет определить как общие характеристики умственной деятельности, так и конкретные уровни развития математического мышления учащихся. Мы можем утверждать, что содержательный анализ, являющийся основой теоретического мышления и имеющий разной сложности операционный состав (пробующие преобразующие действия, моделирование, выделение существенного), осуществляется с опорой на планирование и рефлексию определенного уровня развития; планирование и рефлексия имеют исходный уровень развития, задаваемый уже в действиях, содержащихся в начальных условиях (например, в методике «Единицы» — это владение арифметическими действиями и правилами использования скобок, навыки перебора действий, контроль по результату). Дальнейшая динамика анализа, планирования и рефлексии является «спиральной»: продукт анализа служит основой для развития планирования, а затем — и для соответствующего уровня рефлексии, который, в свою очередь, создает сравнительно широкие предпосылки для выполнения содержательного анализа более высокого порядка.

Учитель математики, опираясь на соответствующие данные, может организовать учебно-воспитательную и индивидуальную работу с учащимися в различных направлениях, и идти по пути разработки методов снятия разницы между актуальным уровнем развития математического мышления и уровнем развития мышления, показываемым на неучебном материале, как не реализованной возможности учащегося: можно допустить, что уровень развития математического мышления ученика должен соответствовать уровню мышления вообще (и это может служить мерой успешности учебной работы учащегося и продуктивности деятельности учителя математики).

Педагог может также иметь в виду, что учащийся, находясь на некотором уровне развития мышления, имеет определенные возможности в самостоятельном решении соответствующего класса задач, а с помощью учителя — задач и другого класса. Это подводит

 

67

 

нас к признанию справедливости положения, что разработка учителем системы учебных задач и их усвоение учащимися создает предпосылки для становления следующего уровня развития интеллекта, есть один из конкретных путей реализации идеи зоны ближайшего развития. Поэтому программные требования к сформированности математических умений и навыков являются эмпирическими мерами оценки уровня развития математического мышления. Разумеется, и используемые нами наборы «адекватных» методик в зависимости от реальных условий обучения и воспитания могут несколько смещаться по возрасту в любую сторону.

 

1. Атаханов Р. Методика дифференцирования типа мышления. Деп. в ТаджикНИИНТИ от 24.04.90. № 26(710). Та — 90.

2. Гончаров В. С. Типы мышления и учебная деятельность: Пособие к спецкурсу. Свердловск, 1988.

3. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М., 1972.

4. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., 1986.

5. Зак А. З. Как определить уровень развития мышления школьника. М., 1982.

6. Исаев Е. И. Психологическая характеристика способов планирования у младших школьников // Вопр. психол. 1984. № 2. С. 52 – 60.

7. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

8. Ле Тхи Кхань Кхо. Динамика умственного развития младших школьников в разных условиях обучения: Автореф. канд. дис. М., 1985.

9. Максимов Л. К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения // Вопр. психол. 1979. № 2. С. 57 – 65.

10. Максимов Л. К. Формирование математического мышления у младших школьников: Учебное пособие по спецкурсу. М., 1987.

11. Пономарев Я. А. Знания, мышление и умственное развитие. М., 1967.

12. Психическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование / Под ред. В. В. Давыдова. М., 1990.

13. Усманова Э. З. Мотивационно-эмоциональная регуляция мышления в условиях межличностного взаимодействия: Автореф. канд. дис. М., 1986.

 

Поступила в редакцию 16.VII 1991 г.