Вы находитесь на сайте журнала "Вопросы психологии" в девятнадцатилетнем ресурсе (1980-1998 гг.).  Заглавная страница ресурса... 

67

 

КРИТЕРИИ СФОРМИРОВАННОСТИ ПОНЯТИЯ ВЕЛИЧИНЫ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

 

M.А. СЕМЕНОВА

 

Проблема формирования научных понятий, ставшая классической для психологии, изучалась многими известными психологами: Ж. Пиаже, Л.С. Выготским, Д.Н. Узнадзе, Р.Г. Натадзе, П.Я. Гальпериным, Н.А. Менчинской и другими. Важным вкладом в исследование этой проблемы послужили работы В.В. Давыдова, благодаря которым утвердились принципы различения теоретических (содержательных) и эмпирических (формальных) обобщений и соответствующих им двух типов понятий [1]. В этих работах было отчетливо показано, что усвоение ребенком именно теоретических, содержательных понятий служит главным условием формирования основ собственно научного мышления.

В то же время дальнейшие разработки в этой области в известной мере сдерживаются отсутствием методов, позволяющих четко и однозначно определять степень усвоения ребенком тех или иных научных понятий, т.е. диагностировать уровень их сформированности. В данной работе излагается исследование возможности построения такой диагностики в начальном экспериментальном курсе математики.

Исходя из специфического содержания теоретического понятия, мы используем в качестве основных такие его характеристики, как предметность, обобщенность и системность. Под предметностью знания понимается возможность выделения генетически исходной, выдержательной абстракции или сущности предмета из объекта. В чувственно-предметной ситуации можно действовать либо сообразно внешней логике объекта, либо в соответствии с логикой понятия. Какая логика положена в основу действия, можно определить по самому действию. Если действие является специфическим для исследуемого понятия, то можно говорить о понятийной логике. Таким образом, предметность как понятийное действие с объектом может служить одним из диагностических критериев сформированности понятия.

Если основная функция содержательного абстрагирования состоит в вычленении некоторого отношения вещей, которое определяет целостность системы, то в обобщении происходит установление связи этого отношения с единичными явлениями. Только в этом процессе выделенное отношение раскрывает свой всеобщий характер, становится генетической основой рассматриваемой системы. Обобщенность понятия обнаруживается в сведении частных форм проявления понятия к порождающей их основе. Умение преобразовывать заданные условия, сводя их при этом ко всеобщей основе,— показатель обобщенности знания. Момент преобразования исходных условий является в этом случае диагностическим. В зависимости от формы (предметная, знаково-символическая), в которой представлены условия, преобразующее действие может быть либо предметным, либо чисто умственным. Если действие осуществляется в уме, то о его наличии можно судить только по результату. С этой точки зрения наиболее диагностична предметно-чувственная ситуация, в которой можно наблюдать предметную форму преобразования объекта. Такая ситуация

 

68

 

позволяет диагностировать одновременно как предметность знания, так и его обобщенность.

Однако умение свести частный случай ко всеобщей основе еще не охватывает всех проявлений теоретического понятия, а следовательно, не исчерпывает всех возможностей его диагностики. Если по содержанию теоретическое понятие характеризуется как отражение связи всеобщего и единичного, то по форме — как способ выведения единичного из всеобщего [1; 320]. Возможность выведения из всеобщей основы частной формы ее проявления была названа системностью понятия. Это обеспечивает построение всей системы в целом, воссоздание конкретного. Системность понятия обнаруживается в умении преобразовывать исходную абстракцию для построения ее частной формы.

Конкретная разработка указанных критериев сформированности теоретического понятия предполагает логико-психологический анализ происхождения понятия, выявление его предметных источников. В настоящей работе мы исследовали предметность, обобщенность и системность понятия на примере понятия величины. Наиболее распространенным является аксиоматический подход, при котором понятие величины определяется через ту или иную систему аксиом. Так, в книге советского математика В.Ф. Кагана «Очерки по геометрии» [2] показано, что в основании понятия величины лежат другие математические понятия, выражающие характер отношений между объектами: «равно», «больше», «меньше». Их применимость определяется, во-первых, наличием общего для сравниваемых предметов признака и, во-вторых, наличием критерия сравнения, т.е. того, что позволяет установить, какое именно соотношение имеет место. Через эти понятия и их свойства В.Ф. Каган раскрывает содержание понятия величины: «Величина есть множество, элементы которого стоят один к другому в отношении «равно», «больше», «меньше», причем соотношения эти удовлетворяют постулатам сравнения» [2; 101].

За каждым понятием скрыто особое предметное действие или система таких действий [1], [3], [4]. Психологический подход к анализу понятия величины заключается в том, чтобы ответить на вопрос, какие существенные отношения лежат в основе понятия величины и какие предметные действия открывают субъекту эти отношения. Мы выдвинули предположение, что генетической основой понятия величины является особая форма связи элементов, которая обнаруживается в сериационном ряду. Владеть понятием величины — значит уметь выявить или воссоздать эту связь, осуществляя действие упорядочивания. Допустим, мы имеем некоторое множество, состоящее из n элементов. Это множество представляет собой величину, следовательно, его элементы сравнимы между собой, т.е. для них установлены критерии сравнения. Результатом сравнения являются определенные отношения («равно», «больше», «меньше»), которые удовлетворяют постулатам сравнения. Это означает, что указанные отношения образуют полную дизъюнкцию, они транзитивны, а отношение равенства, кроме того, обратимо и возвратно.

В таком множестве можно установить парных отношений1. Анализ показал, что эти парные отношения различаются по своему происхождению. Часть из них может быть получена только путем непосредственного сравнения предметов, в то время как остальные парные отношения можно найти также и опосредствованным путем. При непосредственном сравнении может быть получено n(n—1)/2 парных отношений. Они являются исходными в том смысле, что остальные (n—1)(n—2)/2 отношении могут быть выведены из них. Чтобы имелись выводные соотношения, множество, очевидно, должно содержать не менее трех элементов: при n = 3 исходных отношений будет два, а выводное — одно.

 

69

 

Соотношение между исходными отношениями и выводными быстро увеличивается с ростом числа элементов n: так, при n = 10 исходными будут 9 отношений, а выводными из них — 36. Существенно, что исходными являются не любые отношения, а лишь вполне определенные — именно характеризующие порядок следования элементов в сериационном ряду: a1≥а2≥.. ≥а n.

Рассмотрим, например, множество из трех элементов a1, а2, а3, между которыми имеются три парных отношения a1≥а2, а1≥а3, а2≥а3. Определим, какие из них могут быть приняты в качестве исходных, а какое можно отсюда вывести. Задавшись отношениями a1≥а2, а1≥а3 видим, что на их основе ничего определенного об отношении а2 к а3 заключить нельзя: и а2, и а3 не превосходят a1, но при этом могут находиться в любых соотношениях друг с другом. Точно так же из отношений а1≥а3 и а2≥а3 не следует ничего определенного по поводу отношения a1 и а2. Но если в качестве исходных принять отношения a1≥а2 и а2≥а3, то из них согласно теореме 5 [2; 93] следует а1≥а3. Как раз эти два отношения и характеризуют порядок следования рассматриваемых трех элементов в сериационном ряду a1≥а2≥а3. Таким образом, в данном множестве отношения а1 к а2 и а2 к а3 являются исходными, а отношение a1 к а3 — выводное. Рассуждения при рассмотрении большего количества элементов и исходных отношений между ними аналогичны.

Поскольку исходными оказываются отношения, характеризующие порядок следования элементов в сериационном ряду, то в качестве специфического действия, направленного на выделение этих отношений, выступает действие, систематизирующее элементы множества по признаку различия,— это действие упорядочивания значений данной величины. Сам ряд значений величины представляет собой форму отношений особого рода, полученную в результате сериации — упорядочивания. Эта особая связь элементов множества (отношение отношений) представляет ту содержательную, реальную абстракцию, которая обнаруживает себя во всех частных случаях проявления величины. Это — генетически-исходное отношение для понятия величины. Владеть понятием величины — значит уметь вычленять из объекта указанное генетически-исходное отношение, уметь сводить к этому отношению и выводить из него новые для субъекта частные формы проявления этого отношения.

 

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

 

Для того чтобы ответить на вопрос, каково качество знания у учащегося, т.е. оперирует ли он в своем мышлении теоретическими понятиями или остается на уровне общих представлений, необходимо специально исследовать, присущи ли его знанию предметность, обобщенность и системность. Такого рода исследования, в свою очередь, поставило перед нами задачу создания соответствующей методики.

Диагностика предметности знания связана с необходимостью предъявить ребенку в качестве объекта набор реальных предметов, который поддается соответствующему предметному преобразованию. Перед испытуемым надо поставить задачу, решение которой требовало бы предметного преобразования условий. Сам момент преобразования диагностичен, так как он показывает логику, в соответствии с которой действует испытуемый. Если преобразующее действие будет адекватно изучаемому понятию, т.е. будет осуществляться с целью выделения генетически-исходного отношения, то следует говорить о наличии предметности знания. Поскольку чувственно-предметная ситуация является одной из частных форм отображения понятия, то можно будет говорить об умении сводить частное к всеобщему основанию, что является показателем обобщенности знания. Далее необходимо проверить, может ли испытуемый связать выделенное отношение с частной формой понятия, т.е. может ли он использовать это отношение в качестве источника выведения новой частной формы проявления понятия. Если такого рода выведение

 

70

 

доступно ребенку, то можно заключить, что его знание системно. Наличие всех трех характеристик свидетельствует о функционировании теоретического понятия в мышлении данного испытуемого.

Нами была создана методика с учетом перечисленных выше требований. Предполагалось, что с ее помощью можно будет диагностировать сформированность понятия величины у младших школьников по таким критериям, как предметность, обобщенность и системность.

В качестве экспериментального материала мы взяли набор отрезков различной длины. Отрезки были либо начерчены, либо предъявлялись в виде бумажных полосок. В методике были использованы наборы на 3, 4, 5 отрезков, которые были упорядочены по длине, либо предъявлялись в беспорядке. От испытуемого требовалось составить самостоятельно задание на определение отношений величин, используя данные отрезки, и записать его в виде формул. Обозначения заданных величин выбирались детьми самостоятельно.

Эксперимент проводился следующим образом. Во вводной части испытуемому предлагалось решить несколько задач известного ему типа, например: А>Б, В<Б, требуется определить отношение А к В. После того как задачи были решены, экспериментатор говорил: «Ты очень хорошо решил эти задачи, а теперь попробуй сам придумать задачи для будущих первоклассников, в которых речь пойдет о длине вот этих полосок (экспериментатор выкладывал перед ребенком набор полосок). Свои задачи ты должен записать при помощи формул, как это делают математики». Постановка задания в такой форме была вполне правомерной и инструкция достаточной, поскольку в процессе формирования понятия величины первоклассники сравнивали предметы по определенному признаку (объему, длине, площади и т.п.), описывали парные отношения буквенными формулами, изучали свойства отношений величин, входящие в аксиоматику В.Ф. Кагана, решали готовые задачи на отношения величин. Однако им никогда не приходилось самостоятельно составлять задачи, тем более если в качестве исходного материала выступали конкретные предметы. Условия тестовой ситуации были такими, что требовали от испытуемого соотнесения цели с предметными условиями; причем это соотнесение предполагало чувственно-предметное преобразование условий в соответствии с этой целью. Результатом являлось составленное испытуемым задание на определение отношения величин. Испытуемому предлагались следующие варианты условий: 1) три упорядоченных по длине отрезка; 2) три неупорядоченных по длине отрезка; 3) четыре неупорядоченных по длине отрезка; 4) пять неупорядоченных по длине отрезков.

Задача в данном случае сводилась к нахождению тех необходимых и достаточных отношений, из которых выводимы все остальные отношения заданного множества элементов. Чтобы решить эту задачу оптимальным путем, необходимо было преобразовать исходную предметную ситуацию таким образом, чтобы все отношения, имеющие место в данном множестве, были «наглядно представлены», т.е. элементы множества должны быть упорядочены. Основанием для построения такого ряда служит наличие отношений между частными значениями данной величины, а действием по созданию ряда — действие упорядочивания.

В своем эксперименте мы использовали вариант методики с фиксированным положением отрезков, но в ряде случаев наряду с этим вариантом испытуемым предлагались полоски бумаги, положение которых не было фиксировано, и при необходимости их можно было передвигать. Вариант с фиксированным расположением полосок был более трудным, так как действие по преобразованию ситуации с целью выделения исходных отношений должно было осуществляться мысленно. О его наличии судили по тому, как отобраны исходные отношения. Это возможно в силу того, что

 

71

 

порядок описания условий задания (того, что создаст испытуемый) в буквенной форме выражает действие по выделению исходных отношений в заданном множестве длин. С другой стороны, вариант с незафиксированным положением полосок позволяет наблюдать действие упорядочивания в его предметной форме и тем самым непосредственно показывать его наличие и первичность.

 

 

Свое исследование сформированности понятия величины мы проводили с детьми 8—9 лет, учащимися школы № 91 Москвы, у которых, согласно экспериментальной программе, по математике в I классе формировалось понятие величины. Нами было обследовано индивидуально 89 учеников. В качестве примера правильного выполнения заданий приведем выше работу испытуемой Наташи Н.

Как было сказано выше, некоторые дети работали по методике, согласно которой положение полосок не должно быть фиксировано. В этом случае мы наблюдали, как отдельные испытуемые упорядочивали отрезки по длине, прежде чем записывали задачу. Чаще всего они выполняли это действие в тех случаях, когда переходили к решению субъективно более сложных задач. Так, испытуемый легко мог решить задачу 2, где даны три неупорядоченные полоски, а при переходе к решению задачи 3 начинал переводить заданную форму расположения полосок в упорядоченный ряд. Другие дети осуществляли это действие при переходе к задаче 4, некоторым оно вообще не требовалось. Нам важно было убедиться в том, что это действие имеет место и оно всегда предшествует построению задачи.

 

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

 

На основе полученных данных мы выделили 4 группы детей: I группа — дети, которые отказались решать задачи (30 %); II группа — те, кто верно решил задачу 1, в которой отрезки уже были упорядочены, и не решил задачу 2, в которой отрезки предъявлялись в беспорядке. Таких детей было 16 %; III группа — верно решившие только первые две задачи, в которых величина была представлена множеством из трех элементов. Сюда вошло 13 % детей; IV группа — дети (41 %), которые решали все задания независимо от количества элементов и формы предъявления.

Испытуемые I группы либо отказывались решать задачи («Я такое не могу», исп. Аня Г.), либо давали нелепые решения, например, Павел П. обозначал отрезки буквами А, Б, С и записывал: А>Б=С. Другой мальчик, Егор К., также записывал не соответствующее заданию решение — он обозначал наименьший по длине отрезок буквой А, следующий — Д, наибольший — К и писал: К>Д+А. Их поведение свидетельствовало о том, что задание они не восприняли. Такой результат не был для нас неожиданным, так как почти все дети I группы по предыдущим проверкам квалифицированы нами как не усвоившие программу.

Испытуемые II группы верно записывали задачу 1, но не могли решить задачу 2. В первом случае отрезки предъявлялись в упорядоченном виде, и, собственно, действие упорядочивания не требовалось. Ребенок описывал наличную ситуацию, не преобразовывая ее, и получал верно построенную задачу. Однако его способ решения путем описания отношений в том порядке,

 

72

 

в котором они представлены на рисунке, не применим во втором случае, где отрезки не упорядочены. Используя свой «метод» решения, испытуемый получал задачу, в которой в качестве условий взяты отношения, не являющиеся исходными в данной системе. Например, Петя К. записал задачу: М<Т, Т>И, М? И. Отношение М к И здесь не выводимо. Обычно экспериментатор в этом случае задавал вопрос: «А ты сам можешь решить свою задачу?» и закрывал чертеж, требуя ответа на основе формул, а не на основе чертежа, откуда легко можно списать отношение М к И. Очень часто дети отвечали, что М равно И, вступая тем самым в противоречие с наличной ситуацией (в чертеже М меньше И). Экспериментатор обращал внимание испытуемого на этот факт: «Как же так, на чертеже М меньше И, а у тебя эти величины равны?». Как правило, испытуемого это не смущало: «Ну и что же. У меня так вышло», т.е. он не воспринимал противоречия, даже если ему на него прямо указывали. Некоторые дети описывали отношения между отрезками, начиная с наибольшей величины (она расположена в середине), ее сравнивали с той, которая начерчена первой (наименьшей), в результате в условие попадало то единственное отношение, которое в этой системе может быть выведено. Испытуемый получал нерешаемую задачу того же вида, что рассмотрена выше.

Таким образом, у этих испытуемых отсутствовала связь знакового плана с предметным. Эти же дети не могли сделать чертеж к системе формул, с помощью предметов показать содержание формул, решить задачу на определение отношения величин, если последние представлены в предметном материале. Они не упорядочивали заданные отрезки по длине, и, следовательно, не выделяли существенное для понятия величины отношение. Можно с уверенностью сказать, что у детей II группы отсутствует понятие величины.

В III группу вошли испытуемые, которые решили задачи 1 и 2, но не могли решить задачу 3. Как нам представляется, основную трудность для этих учащихся составил переход к множеству, в которое входит более чем три элемента. Как показывают предыдущие исследования, эти дети в заданиях на реконструкцию условий, как правило, сводили условия к отношениям трех величин, а не четырех, как было задано. Например, дано:

В>С

А=Н

В·Н

Испытуемые верно отмечали, что задание решить нельзя, так как данные в качестве условий формулы между собой не связаны. Далее от них требовалось реконструировать условия. Они, как правило, выполняли это задание следующим образом:

а)

,

т.е. одна величина убиралась и на ее место ставилась другая, которая выполняла функцию  «посредника» или «мерки» между крайними членами ряда;

б) В>С

               В>А

     А=Н

            В>Н

 

(формула, которую вписывают испытуемые), т.е. ребенок дописывал формулу, но, как правило, она не отражала, как следовало ожидать, связующего отношения типа С>А, а представляла собой новое отношение, которое делало лишней одну из заданных формул. В этом случае отношение В>С становится лишним. Задача, как и в первом случае, сводится к отношениям трех величин. Эти же дети с трудом решали задачи на предметном материале, когда в них было четыре величины, в то время как аналогичные задачи с тремя элементами решали свободно. Трудной для детей III группы была задача, где по условию две величины больше третьей и требуется определить отношение между этими величинами. Эту задачу решить нельзя, однако многие утверждали, что величины равны.

На данном этапе исследования мы не располагаем экспериментальными

 

73

 

фактами, позволяющими раскрыть специфику действий, характеризующих способ, которым пользовались дети этой группы при решении задач на отношения величин. Но нам представляется, что у этих испытуемых принцип связи элементов в упорядоченном ряду не приобрел своей всеобщей характеристики. Испытуемые владели им, как общим принципом для ряда частных ситуаций, а именно множеств с минимальным количеством элементов (n=3). Мы предполагаем, что эти учащиеся имеют общее представление о величине, но у них не сформировано понятие величины.

Испытуемые IV группы, для которых безразличны форма предъявления задания и количество элементов, после решения задачи 3 (с четырьмя неупорядоченными по длине отрезками) переходили к задаче 4 и решали ее так же легко, как и предыдущие. (Задания с большим количеством элементов мы не предлагали, так как они очень громоздки.) Анализ протоколов показал, что эти испытуемые использовали действие упорядочивания элементов с целью выделения исходных для данного множества отношений и построения всеобщего отношения, лежащего в основе понятия величины. Создание новой задачи, запись ее с помощью формул, постановка к ней вопроса говорят о том, что этим детям доступно выведение частной формы всеобщего отношения. Следовательно, их знание о величине системно, обобщенно, предметно и является понятием.

Проведенное исследование позволяет сформулировать следующие основные выводы.

В основу диагностики сформированности у школьников теоретических понятий могут быть положены такие характеристики, как предметность, обобщенность и системность. Эти характеристики являются специфическими для теоретической формы освоения действительности, основу которой составляет способ движения мысли от некоторого общего (всеобщего) отношения к многообразию частных его сторон и свойств.

Предметность, обобщенность и системность, характеризующие сформированность теоретических понятий, могут быть установлены на основе изучения способов действия школьников с отношением, отражающим содержание соответствующего понятия. Действие, адекватное понятию, позволяет выделить и обобщить существенное отношение, лежащее в основе понятия, а также применить это отношение в качестве источника образования любой частной формы понятия.

Для построения диагностических методик необходимо провести логико-психологический анализ исследуемого понятия с целью выявления его предметных источников, а также преобразующего действия, которое составляет основу соответствующего понятия.

Проведенный нами логико-психологический анализ математического понятия величины показал, что существенным отношением, лежащим в основе понятия величины, является отношение, характеризующее связь элементов в сериационном ряду, а действием, которое открывает субъекту это отношение, является действие упорядочивания элементов ряда. Уровень сформированности понятия величины характеризуется умением школьника выполнять действие упорядочивания элементов в сериационном ряду с целью выделения соответствующего отношения, а также выводить из этого отношения его частные формы.

Предложенный в работе подход может быть использован в тех случаях, когда возникает необходимость установить степень сформированности у школьников понятия или системы понятий, что, в частности, позволяет оценить эффективность процесса и метода организации обучения.

 

1. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972. — 423 с.

2. Каган В. Ф. Очерки по геометрии. М., 1963. — 571 с.

3. Пиаже Ж. Роль действия в формировании мышления. — Вопр. психол.1965. № 6. С. 33—51.

4. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958. — 147 с.

 

Поступила в редакцию 7.VI 1983 г.



1 Обратные отношения в силу теоремы 2 нами не рассматриваются [2; 91].