151

 

ПОКАЗАТЕЛИ РАЗВИТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

 

И. Я. КАПЛУНОВИЧ

 

Практически во всех областях народного хозяйства от работников требуются точность мышления, владение эффективными приемами рассуждений и действий, умение находить оптимальные пути и средства решения стоящих задач, т. е. умение рационально организовывать свой труд.

Эти требования предполагают способность не только проводить сложные рассуждения, осуществлять логический анализ данных различных задач, но и работать с различным графическим материалом (чертежами, схемами), по словесной инструкции представлять себе сам объект, оперировать пространственными образами (ПО) при решении самых разнообразных производственных задач. Хорошо развитое пространственное мышление (ПМ) позволяет человеку мысленно проверить различные варианты той или иной конструкции и лишь приемлемую реализовать на практике.

Не только производственно-технические, но и сугубо творческие задачи требуют способности мыслить ПО. Известные естествоиспытатели неоднократно отмечали, что их творческое воображение, интуиция находят свое оформление и выражение в виде представлений, полученных в результате реконструкции чувственных образов, и оперирование ПО лежит в основе получения всех научных данных [1; 294—295], [2; 22], [12].

Раскрывая значение ПМ, нельзя не отметить также, что уровень его развития непосредственно определяет развитие интеллекта. Особенности ПМ связаны и со склонностями личности. Например, склонность к определенной специальности в сравнительно большей степени зависит от уровня развития ПМ, чем от других способностей (например, вербального мышления) [8], [9]. Таким образом, развитие ПМ должно являться не только средством, но и целью обучения школьников математике, черчению, географии, физике, химии, астрономии и другим дисциплинам.

В настоящей статье мы не ставили целью изложить конкретную методику диагностики и формирования пространственного мышления. Она хорошо освещается в предметно-методических журналах. Здесь же учителя могут познакомиться с содержанием пространственного мышления и некоторыми психологическими принципами использования задач как средства его формирования у школьников. Знание учителем основных типов, видов, способов, действий и качеств пространственного мышления позволит ему установить наличие или отсутствие тех или иных показателей уровня развития данного психического процесса у каждого ученика.

Понятие ПМ является видовым по отношению к понятию образного мышления

 

152

 

и в значительной мере опирается не только на чисто логические, но и на чувственные компоненты, на представления1. Однако от образного мышления оно отличается своей спецификой, структурой, функциями, условиями формирования и развития, яркими индивидуальными проявлениями [11]. В психологии ПМ понимается как процесс создания ПО и установления отношения между ними путем оперирования самими образами и их элементами.

Типичными задачами, требующими от учащихся создания представлений, являются задачи по черчению, в которых, например, по трем проекциям (опираясь на графическое изображение) надо построить образ некоторой детали, или задачи по физике, в которых от ученика требуется начертить электро-, радиосхему, удовлетворяющую определенным условиям, и затем реализовать ее (построить действующую модель). На уроках географии указанной цели служат задания по определению направления течения равнинной реки на картине, если известны правый и левый берега и т. п.

Принципиально иной деятельности требует решение, например, такой задачи: «Змея заглотила свой хвост и начинает проталкивать его вовнутрь. Чем закончится этот процесс?» Здесь образ уже имеется (образ змеи), и проблема состоит в том, чтобы, оперируя им, получить результат преобразования. В вышеназванных задачах требуется создать, построить сам образ при опоре на восприятие реальных объектов или их графических изображений, в этой задаче предполагается оперирование, выполнение преобразования с уже имеющимся в представлении образом, с опорой не на сам предмет или его изображение, а на его представление (образ змеи). Поэтому решение данной задачи требует от ученика умения не только представлять, но и оперировать уже имеющимся образом. Иначе оперирование ПО, составляющее основное содержание ПМ, представляет собой деятельность, направленную на актуализацию исходных образов в нужном направлении, перестройку, видоизменение, трансформацию этих образов и. создание на этой основе новых образов, существенно отличных от исходных.

ПМ формируется в процессе практической и учебной деятельности детей, при овладении ими знаниями, умениями и навыками. Поэтому об уровне развития ПМ школьников учителя часто судят по косвенным показателям, на основании оценки результатов усвоения материала. Такой метод возможен, но он не дает полного представления об особенностях самой мыслительной деятельности ученика, о ее структуре, качественном своеобразии, ибо соотношения между знаниями и мышлением очень сложны и неоднозначны.

Для определения реального уровня развития ПМ учащихся, индивидуальных и возрастных различий в этом виде деятельности, наиболее полно и адекватно характеризующих особенности и структуру данного вида мышления, психология располагает рядом устойчивых и надежных показателей. Остановимся на них подробнее.

Тип оперирования ПО. Основным, базальным показателем, отражающим уровень развития ПМ учащихся, является тип оперирования ПО. Он представляет собою тот устойчивый характер преобразований, который доступен ученику и проявляется у него при выполнении различных заданий, при использовании учебного материала [11].

I тип оперирования ПО характеризуется тем, что образ (уже созданный на чувственной основе) подвергается преобразованиям, касающимся изменения только его пространственного положения. Примером может служить задача на построение двух тетраэдрических моделей молекул вторичного n-бутилового спирта (его изомеров), других органических соединений, которые различаются друг от друга только пространственным расположением и соединениями атомов в молекуле. В данном случае одна модель молекулы является зеркальным (симметричным) отображением другой. Того же типа оперирования ПО требует, например, задача по геометрии, где надо найти такое положение прямой а и окружности со, при котором они имели бы по 0, 1, 2, 3 симметричные точки относительно заданной оси симметрии р. Здесь одна ситуация преобразуется в другую путем простого перемещения прямой α или окружности ω.

II тип оперирования ПО. Основное содержание этого типа оперирования — в преобразованиях, затрагивающих и видоизменяющих структуру исходного образа. Примером может служить таутомерия (один из видов изомерии), при которой атомы водорода перемещаются от одного атома какого-либо элемента к другому и обратно в одном и том же соединении. Другой пример: «В кубе провели сечение через диагонали верхнего и нижнего оснований. Затем осуществили поворот одной части тела, образовавшегося в результате сечения, относительно диагонали нижнего основания куба на 180°. Какая фигура получилась в результате всех этих трансформаций?»

 

153

 

В данном случае опять изменилась структура исходного образа фигуры: образ куба трансформировался в образ прямой треугольной призмы.

III тип оперирования ПО характеризуется тем, что преобразования исходного образа должны осуществляться и по пространственному расположению, и по его структуре одновременно и неоднократно. Примером задачи такого типа может служить приведенная выше задача со змеей. Здесь изменяется не только пространственное положение змеи (I тип), но и структура образа: вместо прямой или дуги мы получаем сначала эллиптическое кольцо, которое затем сужается и преобразуется дальше (II тип). Причем оба эти преобразования (и по пространственному положению, и по структуре) осуществляются одновременно и длительно.

Оказалось, что владение определенным типом оперирования ПО является надежным и устойчивым показателем уровня развития ПМ [11], [3]. Предложив школьникам несколько задач, требующих пространственных преобразований по I, II или III типу, учитель может установить, преобразования какого типа преимущественно доступны ученику, а какого — нет, и в соответствии с этим судить об уровнях развития его ПМ. Наиболее высоким является третий уровень, соответствующий III типу оперирования ПО.

Отсюда вытекает важное дидактическое правило постепенного и последовательного усложнения типа оперирования ПО. Например, решение задач на построение разверток, сечений геометрических фигур, которые часто предлагаются на уроках геометрии, черчения, труда, без пропедевтики может оказаться слишком сложным, поскольку требует от учащихся владения III типом оперирования. Указанные задачи предполагают изменение и пространственного положения образа фигуры, и ее структуры одновременно. Учащиеся в этом случае жалуются на то, что «не видят», как можно осуществить требуемое преобразование, что исходный образ тускнеет, исчезает совсем и т. п. Поэтому некоторым школьникам, не владеющим III типом оперирования ПО, необходимы подготовительные упражнения I и II типа.

Выявив таким образом уровень развития ПМ учащихся, необходимо далее особое внимание уделить изучению некоторых индивидуальных особенностей, обусловливающих различия в выполнении школьниками данного вида деятельности. Приведем основные показатели, позволяющие дифференцировать эти различия.

Действия по оперированию ПО. Наблюдая за учениками, можно заметить, что некоторые решают одни задачи на данный тип оперирования (например, II тип), но не решают других, требующих преобразований того же уровня сложности (тоже II типа). Причина заключается в том, что одни манипуляции с ПО учащиеся умеют осуществлять, другие — нет. Проведенные эксперименты показали, что такие действия над образами пространственных фигур, как параллельный перенос, осевая симметрия, они выполняют легче, чем параллельное проецирование, поворот и т. д.

При обучении учащихся действиям, включаемым во II тип оперирования ПО, наблюдается та же закономерность. Поэтому в этом случае им требуется значительно большее количество упражнений, наглядных опор к этим упражнениям, чем для овладения первой группой действий [3].

Указанная дифференциация объясняется различной математической сложностью и психологической трудностью действий над ПО. Действительно, формальное математическое описание параллельного переноса и осевой симметрии значительно проще такого же описания поворота, в котором приходится использовать тригонометрические функции.

С психологической точки зрения поворот тоже оказывается трудной операцией. Во всех известных школьнику пространственных преобразованиях перемещение элементов и самих фигур осуществляется по прямым. При повороте фигура и ее элементы перемещаются по дуге окружности, при этом используется не линейная мера, а угловая. Представления об угловой мере, так же как и перемещение по дуге окружности, используются значительно реже, а потому и менее развиты по сравнению с представлениями о линейной мере и перемещении по прямой. Этим объясняется психологическая трудность поворота [3].

Итак, в рамках одного и того же типа оперирования ПО (уровня развития ПМ) учащиеся могут выполнять одни и не выполнять другие действия. Поэтому, обнаружив, что какой-либо ученик не владеет некоторыми из них (поворотом, ортогональным проецированием и т. д.), учителю следует подобрать специальную систему упражнений для этого школьника, с тем чтобы ликвидировать обнаруженную «психическую неисправность» его ПМ.

Вид оперирования. В практической деятельности учитель может обнаружить такой, с первого взгляда, парадоксальный факт. Некоторые ученики, справляющиеся с преобразованиями по III типу оперирования (обладающие третьим, наиболее высоким уровнем развития ПМ), ориентируются в пространстве несколько хуже, чем школьники со вторым уровнем развития ПМ. Чтобы разобраться в этом, разобьем все задачи каждого из трех типов оперирования на два класса, назвав их «классом внутренних» и «классом внешних задач» на оперирование ПО.

К. классу внутренних задач отнесем задачи на установление отношений между расположением элементов фигур, их размеров, на анализ формы всей фигуры и ее частей, оперирование этими элементами, т. е. на изучение пространственных характеристик

 

154

 

фигуры, исходя из анализа ее внутреннего строения. Мыслительную деятельность, соответствующую этому анализу, назовем «внутренним оперированием ПО».

Ярким дидактическим примером того, как следует формировать эту деятельность у учащихся, могут служить предложенные Я. А. Коменским рекомендации по обучению детей искусству наблюдения и порядку рассмотрения предметов. После правильного расположения объекта наблюдения необходимо, по мнению автора, осмотреть объект в целом; осмотреть каждую часть в отдельности; по порядку от начала до конца, пока все не будет увидено правильно [6]. Для выполнения этих правил требуется анализ объекта и связанных с ним геометрических величин, инвариантных при преобразованиях, не выводящих из заданной фигуры. Такие задачи широко представлены в школьных курсах черчения (например, построение чертежа по изображению), геометрии (построение сечений), химии (составление электронных схем реакций соединения атомов в молекулы), физики («правило правой руки») и др.

К классу внешних задач отнесем упражнения, требующие установления отношений между пространственным расположением двух или. нескольких фигур, их размеров, сравнения их форм, оперирования всем геометрическим телом; т. е. изучения пространственных характеристик тела, исходя из анализа его отношений с другими геометрическими телами. Мыслительную деятельность, соответствующую этому анализу, назовем «внешним оперированием ПО». Эта деятельность требуется от учащихся, например, при ориентировке на местности и на карте (география), при перемещении плоскости и пространства (геометрия), при нахождении результирующего вектора сил и разложения его на составляющие (физика) и т. д. [4].

При одном и том же типе оперирования, при проверке одного и того же умения задача, в зависимости от формулировки, может требовать внутреннего или внешнего оперирования. Сравните задачи.

 

 

1. На кубе выбраны четыре вершины, такие, что никакие две из них не принадлежат одному ребру (см. рис.). Через каждые три вершины проведены секущие плоскости. Доказать, что объем тела, ограниченного этими плоскостями, составляет треть объема куба (I класс задач).

2. Через каждое ребро тетраэдра SABC (рис.) проведена плоскость, параллельная несмежному (противоположному) с ним ребру.

Доказать, что объем тетраэдра составляет треть объема тела, ограниченного этими плоскостями (II класс задач).

Обе задачи, предполагая один и тот же тип оперирования, с психологической точки зрения не тождественны, так как выполняют разные функции в развитии ПМ и требуют совершенно различной мыслительной деятельности. В первом случае школьники вынуждены фиксировать точку отсчета и, отталкиваясь от нее, устанавливать отношения между элементами внутри созданного образа (образа куба), анализировать его внутреннее строение (внутреннее оперирование ПО). В результате они получают образ тетраэдра SABC. Во втором случае учащиеся вынуждены выйти за пределы созданного образа и, исходя из анализа отношений тетраэдра с несколькими внешними для него плоскостями, постоянно меняя точку отсчета, получить в результате образ куба (внешнее оперирование ПО).

Становится понятным, почему даже довольно сложные внутренние задачи (например, задача 1, приведенная выше), необходимые для адекватного усвоения многих школьных дисциплин и составляющие основное содержание школьных задачников, не требуют и не развивают у учащихся умения ориентироваться в пространстве (как видимом, так и воображаемом) со свободно перемещающейся точкой отсчета. Развитию этого умения способствует решение задач типа задачи 2 (см. выше), причем обязательно путем внешнего оперирования ПО2. Именно они, как показали наши исследования, формируют у школьников «умение переносить свою, сначала фиксированную точку отсчета в любую другую точку пространства и переводить, «трансформировать» все пространственные отношения из одной системы отсчета в другую», оперировать системой «со свободно перемещающейся точкой отсчета». Это, по мнению выдающегося советского психолога С. Л. Рубинштейна, является «стержнем общего развития понимания пространства» [10; 272].

Способы оперирования ПО. Психологические наблюдения и эксперименты показали, что в рамках определенного уровня ПМ учащиеся устойчиво дифференцируются и по такому показателю, как способ осуществления преобразований соответствующего

 

155

 

типа. Одни отображают фигуру не сразу, а по отдельным элементам (точкам, отрезкам) и лишь затем находят их объединение (I способ). Вторые совершают преобразования только над одной точкой (отрезком), а затем «оформляют» всю фигуру, последовательно достраивают до более сложной конфигурации, дополняют отсутствующими элементами (II способ). Третьи тоже оперируют только одним элементом (точкой, отрезком), но затем моментально (как бы «с места») получают (экстраполируют) результат преобразования (III способ). Наконец, четвертые оперируют сразу всем образом фигуры (IV способ). Следует подчеркнуть, что тот или иной способ работы проявляется у одних и тех же учащихся независимо от того, какой тип оперирования они осуществляют. Между тем продуктивность решения задачи на определенный тип оперирования непосредственно зависит от сформированного способа оперирования, т. е. от владения техникой этого процесса [3].

Например, при повороте образа куба на заданный угол одни учащиеся совершают это действие сразу со всем образом, осуществляя при этом преобразование I типа оперирования (IV способ). Другие школьники пытаются повернуть не весь куб сразу, а его отдельные элементы (ребра, грани) и затем «собрать» их в новый куб, получившийся из исходного после поворота (1 способ). В этом случае данное преобразование представляет собою неоднократное перемещение элементов исходного образа, т. е. композицию поворотов I типа, что соответствует задаче III типа оперирования, которая психологически значительно труднее.

Парадоксальность ситуации состоит в том, что этот способ (оперирования по частям) используют школьники с низким уровнем развития ПМ, для которых III тип недоступен. При оперировании этим способом образ у них расплывается, разваливается и исчезает совсем. Сохранение исходного образа в представлении при оперировании им — основная трудность для учащихся при таком способе работы.

Этих школьников надо учить менять привычный им способ оперирования на более эффективный и легкий. Например, после нескольких неудачных попыток повернуть куб по частям учитель может предложить учащимся вычленить какой-либо элемент куба (ребро, грань) и совершить действие только над этим элементом, а затем к нему достроить весь образ куба. В этом случае осуществляется поворот I типа (а не III типа) над одним элементом и далее представляется весь куб с учетом уже имеющегося элемента. Психологически так действовать проще.

Понятно, что первый способ оперирования (отображение образа по частям) является нерациональным. Это необходимо учитывать при составлении школьной программы по математике. Рассматривая все преобразования плоскости и пространства как точечные, программа ориентирует на этот способ преобразования. Такой подход вполне оправдан с математической точки зрения, но абсолютно неэффективен для формирования ПМ. Он затрудняет осуществление пространственных преобразований, так как требует оперирования по III типу.

Однако здесь есть разумный выход. Учащимся нужно объяснить, что если преобразованию подвергается каждая точка плоскости (пространства), то ему подвергается и любая фигура этой плоскости (пространства). Поэтому можно оперировать не, отдельными точками, а всей фигурой сразу, что быстрее и проще. Далее нужно предложить им несколько упражнений. Таким путем школьники вместо первого начнут использовать более эффективный четвертый способ оперирования (всем образом). Если же положение четко фиксировано в пространстве (например, фигура задана своими координатами), то удобны второй или третий способы. Причем под влиянием упражнений у учащихся могут быть выработаны рациональные способы оперирования, и они станут уже не достраивать недостающую часть, а экстраполировать ее (третий способ). В этом случае существенно облегчается оперирование ПО: вместо сложного III типа учащиеся используют более простой II или даже I тип оперирования.

Рассматривая вопрос о формировании способа осуществления преобразований, отметим, что легче всего научить оперировать сразу всем образом фигуры. Этот факт объясняется тем, что именно такое оперирование чаще встречается на практике, и тем, что в этом случае цельный образ удерживать в представлении легче, чем в случае его преобразования по частям. Сформировать у школьников данный способ оперирования можно двумя путями: 1) постепенным композиционным (структурным) усложнением исходного образа при оперировании им в плоскости, а затем в пространстве; 2) постепенным композиционным усложнением плоских образов при оперировании ими сразу в пространстве, а затем оперированием трехмерными образами в пространстве. Эксперименты показывают, что второй путь является более эффективным.

Очень трудно поддается переделке и замене более рациональными способами второй способ оперирования, когда преобразования совершаются только над одной точкой (отрезком), а затем оформляется вся фигура путем дополнения отсутствующих элементов.

Так, школьники, использующие этот способ оперирования, могут овладеть более эффективным способом оперирования — сразу всем образом фигуры и успешно при менять его при решении различных практических и учебных задач в контрольных условиях. Однако в естественных ситуациях (например, при выполнении задания дома)

 

156

 

они по-прежнему часто совершают пространственные преобразования старым способом [3], [4].

Качества ПМ. Помимо указанных индивидуальных особенностей учащихся можно выделить и ряд других, характеризующих качественные показатели ПМ, тот или иной уровень его развития.

Для учащихся, владеющих I типом оперирования ПО и соответственно имеющих I уровень развития ПМ, характерна статичность создаваемых образов, проявляющаяся в их неподвижности, инертности, жесткой, четкой фиксации, закрепленности в пространстве. Этим школьникам легче создать новый образ, нежели дополнить, видоизменить старый. Нередко, отыскав часть искомого множества, они не ищут остальных его элементов.

Осознанность совершаемых действий у них почти отсутствует. Это проявляется в беспорядочном, лишенном четкой последовательности оперировании образом. Игнорируя определенные условия задачи, эти учащиеся пытаются совершать над образом или его элементами известные им преобразования без учета особенностей и конечной цели решения, геометрических законов преобразований [5].

Следующим качественным показателем, характеризующим этот уровень развития ПМ, является недостаточная обобщенность совершаемых действий. Она выражается в отсутствии их переноса, в сильной зависимости умения совершать некоторые из них от композиционной сложности образа, от задания и фиксации точки отсчета, от направления движения и т. д.

Учащиеся со II типом оперирования ПО и соответственно со II уровнем развития ПМ, как правило, создают уже динамичные образы, которые свободно перемещаются, плавают в пространстве, легко деформируются, дополняются новыми элементами. Школьники совершают с ними всевозможные манипуляции даже без особой надобности в том. Кроме того, ПМ этого уровня характеризуется осознанностью совершаемых действий3. Имеется тесная связь между создаваемыми образами и выражением результата оперирования ими в слове. Действия над образами обобщены. Они свободно актуализируются в разных ситуациях, связываются с разнообразными случаями их применения. Появляется система мыслительных действий,

 

 

157

 

обеспечивающих преобразования ПО фигур, устанавливаются определенные связи между отдельными действиями. Они актуализируются не только под влиянием условия задачи или требования учителя («извне»), но и от других действий. Школьники могут и иногда заменяют одно действие другим, более простым для решения конкретной задачи (например, поворот на π радиан — симметрией).

По сравнению с учащимися II типа оперирования ПО учащиеся с III типом оперирования и соответственно с III уровнем развития ПМ имеют менее ярко выраженную динамичность. Хорошо осознавая собственные действия, школьники этой группы осуществляют их столь легко и свободно, что эти действия выполняются у них как бы автоматически. Обобщены не только отдельные действия, но и их система [3].

Все описанные показатели можно свести в карточку-таблицу (см. табл.), в которой удобно фиксировать результаты изучения уровня развития и основных особенностей ПМ каждого ученика. В такой карточке-таблице отмечаются ячейки, задачи из которых решены и не решены данным школьником (т. е. показатели его ПМ). Таким образом, у учителя создается цельное представление об уровне и основных «психических неисправностях» ПМ всех учеников. Исходя из этого представления, он планирует свою работу с каждым из учащихся и может конкретно и точно определить отсутствующие показатели и наметить систему индивидуальной работы для полноценного формирования у школьников данного вида мышления.

Так, например, по приведенной карточке-таблице одного из учеников легко установить следующее. Он обладает II уровнем развития ПМ4. Для развития ПМ этого ученика до III уровня ему необходимо научиться осуществлять в воображении поворот, гомотетию и параллельное проецирование II типа. Кроме того, в рамках II типа учителю необходимо подобрать систему упражнений, которая помогла бы сформировать у этого ученика системность мыслительных действий, внешнее оперирование ПО, умение осуществлять преобразования III способом.

Таким образом, знание учителем основных типов, видов, способов, действий и качеств ПМ учащихся позволяет ему установить наличие или отсутствие тех или иных показателей уровня, развития данного вида мышления у каждого ученика и целенаправленно формировать у них пространственное мышление, добиваться более прочных знаний, умений и навыков, максимально использовать развивающую функцию обучения и таким образом делать свой труд более эффективным и качественным.

 

1. Бройль Луи де. По тропам науки. — М., 1962. — 408 с.

2. Гнеденко Б. В. О математическом творчестве. — Математика в школе, 1979, № 6, с. 16—22.

3. Каплунович И. Я. О структуре пространственного мышления при решении математических задач. — Вопросы психологии, 1978, № 3, с. 75—84.

4. Каплунович И. Я. Диагностика умений школьников оперировать пространственными образами и ориентироваться в пространстве. — В кн.: Психодиагностика и школа. Тезисы симпозиума. — Таллин, 1980, с. 118—120.

5. Каплунович И. Я. Особенности осознания учащимися мыслительных операций в процессе решения задач. — Новые исследования в психологии, 1981, № 2 (25), с. 64—68.

6. Коменский Я. А. Великая дидактика. — Избр. пед. соч., т. I. — М., 1932. — 281 с.

7. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. — М., 1975. — 304 с.

8. Меньшикова Л. В. Образные компоненты в мышлении: Автореф. канд. дис. — Л., 1974. — 23 с.

9. Микшите О. Г. Связь между установлением пространственных соотношений и склонностью к специальности: Автореф. канд. дис. — Вильнюс, 1974. — 34 с.

10. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии. — М., 1946. — 596 с.

11. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. — М., 1980. — 240 с.