151

 

ОБУЧЕНИЕ ОБЩЕМУ ПОДХОДУ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

 

Н. Г. САЛМИНА, В. П. СОХИНА

 

В общей системе обучения задачи играют особую роль. Через решение задач осуществляется необходимая связь теоретических знаний с практикой, умение ставить и решать задачи определяет степень обученности, общей подготовленности учащихся.

Раздел обучения решению задач в любой предметной области считается наиболее трудным. Многочисленные наблюдения и исследования говорят о том, что трудность, как правило, представляют не вычисления, которые надо произвести в задаче, т. е. не исполнительская, техническая сторона задачи, а тот анализ, который предшествует нахождению пути решения, т. е. предварительное звено, связанное с пониманием условия задачи.

Знакомство с процессом обучения показывает, что в школьной практике обучение решению задач ведется на конкретных примерах задач определенного типа.

Вместе с тем хорошо известно, что к какому бы типу ни относилась задача, она всегда представляет собой некую модель явления или процесса, отражающую (в математической задаче) количественную сторону этого явления или процесса, выраженную через систему необходимых компонентов, функциональная зависимость между которыми и должна быть вскрыта путем анализа.

Это положение дает право ставить вопрос о возможности1 формирования у учащихся общего метода анализа любой задачи. Наличие такого метода должно упорядочить движение учащегося по тексту задачи и сделать тем самым ее анализ целенаправленным.

В психолого-педагогической и методической литературе имеется целый ряд работ, предметом которых является формирование общего метода решения задач. Кроме известной работы Ж. Пойа [5], в которой дается общая методика решения математических задач, можно назвать работы Ф. Г. Богданского [1], Г. Г. Микулиной [3], Г. И. Минской [4], Н. Г. Салминой, В. П. Сохиной [6], Н. Ф. Талызиной, Г. Никола [7], Л. М. Фридмана [8], [9]. Надо отметить, что хотя все работы направлены на поиски общего метода, каждый из авторов предлагает свое решение вопроса.

В соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперин), мы предлагаем с самого начала обучения решению задач формировать у учащихся общее умение анализировать задачи независимо от их типа или предметной отнесенности.

Другими словами, обучение учащихся умению решать задачи должно прежде всего предусматривать формирование не исполнительной части решения задачи (выполнение вычислений в определенной для каждого типа последовательности), а ориентировочной

 

152

 

части, подготовительной к решению задачи. При этом представляется необходимым с самого начала обучения специально учить детей принципам подхода к задаче, принципиальной схеме ее анализа [2].

Формирование обобщенной ориентировки достигается как характером представляемых ориентиров и организацией работы с ними (I), так и подбором заданий для отработки и формирования соответствующего действия (II).

I. Анализ любой задачи является сложной деятельностью, в которую включаются следующие действия:

1) восстановление предметной ситуации, описанной в задаче;

2) выделение основных единиц сообщения;

3) перевод текста задачи на язык (математический, физический и др.), который требуется для ее решения;

4) установление связи между данными для определения хода решения.

Эти действия тесно связаны между собой, но, несмотря на это, каждое из них имеет свое содержание, которое должно стать предметом усвоения. Поэтому каждое из них требует создания специальных условий для своего формирования, подбора соответствующих средств, с помощью которых оно могло бы осуществляться. Отработка указанных действий и последовательности их выполнения происходит до того, как учащиеся приступают к решению задач, т. е. к нахождению числового ответа на вопрос. Это делается для того, чтобы максимально сосредоточить внимание учащихся на анализе содержания задачи.

В самом начале обучения учащимся необходимо раскрыть понятие задачи, научить их выделять основные части задачи (условие и вопрос), находить связь между ними. С этой целью предлагаются задачи, различающиеся по характеру формулировки и месту расположения в них вопроса; задачи, различным образом сконструированные, и, наконец, учащимся предлагаются тексты, которые нужно превратить в задачи, или отдельные вопросы, к которым нужно подобрать условие. Умение выделять в тексте задачи условия и вопрос составляет необходимый исходный уровень и является предварительным умением по отношению к собственно анализу задачи.

После того как сформировано это предварительное умение, нужно приступать к формированию общего метода анализа задачи.

В связи с тем, что анализ задачи предполагает определенную последовательность действий, обучение начинается с формирования умения восстанавливать предметную ситуацию, выяснять, о чем говорится в задаче. Так, например, в задачах «на давление» в тексте может указываться площадь опоры одного элемента (одной ножки стола или длина и ширина одной лыжи лыжника и т. п.). Восстановление ситуации приводит к необходимости включения в задачу дополнительных данных, которые подразумевались условием задачи, но не были прямо указаны в тексте.

Восстановленная по тексту задачи ситуация должна быть внешне выражена (материализована). Обычно в младших классах материализация осуществляется с помощью конкретных предметов, в более старших — с помощью. рисунков этих предметов, а затем — в виде схем.

Специальные наблюдения показывают, что для наиболее успешного выделения предметного содержания задачи эффективнее всего применять абстрактный материал, например, фишки. Он дает возможность отвлечься от несущественных признаков предметов и ситуации.

Восстановление предметной ситуации обязательно должно сопровождаться речевым комментированием.

Дальнейшая работа над задачей идет путем переработки текста, выделения различных по значимости данных задачи (единиц сообщения), нахождения связи между ними. За единицу сообщения можно принять выражение, несущее конкретную информацию о ситуации задачи. Читая задачу, учащийся отделяет каждую единицу сообщения от всех других вертикальной чертой. Например, «В 3 классах 90 учеников. | В I классе 27 учеников, | во II— на 5 учеников больше. | Сколько учеников в III классе?»

В результате такой работы текст задачи выступает теперь как совокупность определенных смысловых единиц. Однако текстовая форма выражения основных единиц включает несущественные для решения задачи моменты. Чтобы отвлечься от них, текст задачи записывается кратко.

Приведенная выше задача может быть представлена в виде следующей краткой записи:

 

 

К форме представления краткой записи предъявляются определенные требования. Прежде всего она должна быть четко структурирована, с тем чтобы данные выделялись и отделялись одно от другого. Каждое данное краткой записи должно сопровождаться наименованием.

 

153

 

Когда данные задачи специально вычленены в краткой записи условия, начинается анализ отношений и связей между этими данными.

Наиболее четко связи и отношения выступают в схемах, графиках. Поэтому самым эффективным средством установления зависимостей между данными задачами является перевод ее условий в графическую схему. Часто уже только перевод словесного текста на графический язык настолько обнажает существенные связи, отношения, что делает видимым ход решения задачи.

Опыт показывает, что для учащихся начальных классов простой и эффективной формой графического выражения словесного текста является использование геометрических отрезков. Например, задачу «У Оли 10 карандашей, а у Пети — на 5 больше. Сколько карандашей у Пети?», аналогичную приведенной выше, можно представить в виде следующей схемы (рис. 1):

 

 

Каждое из вышепроанализированных действий формируется и отрабатывается в указанной последовательности обязательно с использованием внешних средств выражения. В этой системе действий каждое последующее действие опирается на результаты предыдущего. Критерием правильности краткой записи или графической схемы должно выступать то, насколько каждая из этих форм служит средством анализа, обеспечивает возможность последующих действий.

Первые задачи, с которыми учащиеся встречаются в начальной школе, очень просты, и вполне возможно, что дети могут решать их без специальной отработки указанных действий. Однако в дальнейшем анализ задач и их решение начинают вызывать большие затруднения, поэтому общий принцип работы над задачами должен быть сформирован на простых задачах. Потом этот принцип переносится на самую широкую область задач. Научившись производить анализ в ходе работы с простыми задачами, учащиеся в дальнейшем при встрече с более сложными задачами используют сформированный метод работы для анализа и решения новых задач.

Таким образом, последовательный перевод словесного текста условий в краткую запись, а затем в графическую схему является одной из форм анализа данных задачи и определения хода решения.

Другой формой установления связи между данными для определения хода решения является логический анализ задачи.

Предлагаемый метод логического анализа задачи предполагает определенную последовательность рассуждений, включающую целую систему вопросов:

С чего начинается анализ задачи? (С вопроса задачи.)

О чем спрашивается в задаче?

Что требуется для ответа на вопрос задачи? (Должны быть не менее двух данных.) Какие данные необходимы для ответа на вопрос задачи? Известно ли первое данное? Известно ли второе данное?

Есть ли дополнительные данные для получения недостающих данных задачи?

Умение решать задачи предполагает овладение как способом анализа текста задачи по направлению от условия к вопросу, так и логическим анализом, начинающимся от вопроса. Существенная разница этих способов состоит в том, что при первом из них сам текст определяет последовательность анализа, движение от одних данных к другим, при втором же последовательность анализа определяется не конкретным текстом, а содержанием метода анализа.

Обычно логический разбор ведет учитель, и потому логика анализа задачи не выступает как предмет усвоения для учащихся. Согласно теории поэтапного формирования умственных действий, собственная активная учебная деятельность учащихся является непременным условием полноценного усвоения.

Для усвоения логической схемы анализа вначале (в соответствии с ответами на указанную выше систему вопросов) составляется графическая схема, которая материализует логику, последовательность рассуждения, а также ход решения (рис. 2).

При этом, если, согласно схеме, анализ задачи осуществляется от основного вопроса к данным, которые необходимо выделить для ответа на вопрос, то решение задачи осуществляется в обратном порядке — от промежуточных вопросов к основному.

 

154

 

Логическая схема анализа наиболее эффективно формируется при работе учащихся группой, когда один задает вопросы, другой отвечает на них, и можно организовать коллективный анализ с соблюдением последовательной логики и рассуждения. Со временем логический анализ может осуществляться только в громкоречевой, а потом и в умственной форме.

 

 

До сих пор предметом рассмотрения было описание деятельности анализа условий задачи и тех материализованных средств, которые необходимо использовать при формировании у учащихся каждого компонента этой сложной деятельности. Однако характер сформированного знания определяется не только содержанием ориентиров, даваемых учащимся, и системой отработки формируемых действий, но и подбором заданий, на которых ведется отработка.

II. Ориентировка на формирование обобщенного умения решать задачи также требует изменения не только системы ориентиров, но и соответствующего подбора заданий.

Для того чтобы избежать формального анализа текста задачи и образования неправильных стереотипов, необходимо с самого начала варьировать задачи по предметным, логическим и психологическим типам, а также использовать самостоятельное составление задач, решение одной задачи несколькими способами и др.

На начальных ступенях обучения математике, как уже говорилось, необходимо руководствоваться принципом не постепенного введения и отработки приемов решения отдельных типов задач, а перемежающегося введения различных задач для формирования общего способа анализа. Например, в I классе давать одновременно задачи на разностное и кратное сравнение, на нахождение суммы и нахождение разности и др.

Варьирование по логическим типам предполагает наряду с задачами, имеющими все необходимые и достаточные для решения данные, введение задач с лишними данными, а также задач с недостающими данными, которые по этой причине не имеют решения.

Например: 1. Брату 10 лет, сестра моложе брата. Сколько лет сестре? 2. На остановке никто из автобуса не вышел, но в него вошли 5 мужчин и 3 женщины. Сколько человек вошло в автобус на этой остановке? Можно ли узнать, сколько пассажиров стало в автобусе?1 3. Дети ловили бабочек. У них было 2 сачка. Коля поймал 4 бабочки, а Витя — 3 бабочки. Сколько всего они поймали бабочек?

К варьированию по психологическим основаниям можно отнести варьирование по способам презентации задачи (словесная, графическая и другие формы представления условий задачи), а также по видам деятельности, которую предполагает задача. Например: у Сережи есть 2 тетради в линейку и 4 тетради в клетку. Сколько всего тетрадей у Сережи?

Задачу можно записать кратко: I — 2 тетради, II — 4 тетради; или изобразить графически в виде схемы, аналогичной приведенной выше.

Помимо задач, требующих анализа содержания и последующего решения, необходимо широко вводить задачи, требующие преобразований (условий, вопроса). Так, по условию простой задачи для начальных классов можно составить 12 вариантов задач (на каждое из арифметических действий с варьированием в качестве неизвестного одного из компонентов действия). Преобразование может касаться отдельных частей условия, вопроса.

Должно предусматриваться самостоятельное составление задач на основе различным способом представленных данных (по числовому примеру, по краткой записи, по заданной графической схеме и пр.). Наконец, должно предусматриваться решение одной и той же задачи несколькими способами и сопоставление различных способов решения. Опыт показывает, что решение одной и той же задачи несколькими способами,

 

155

 

преобразование задачи, самостоятельное составление различных задач на основе одних и тех же данных дают гораздо больший эффект, чем решение большого количества задач одного типа.

Разработанная система обучения обобщенному способу анализа и решения задач, включающая систему ориентиров, определенную последовательность отработки анализа, вооружение учащихся необходимыми средствами материализации, определенный подбор заданий, эффективно применяется в практике обучения младших школьников (школы г. Ижевска № 5, 56, 7, 16). Результаты обучения, проводившегося с I по V класс (1974—1979), представлены в виде графика. По оси абсцисс — число учащихся, успевающих на отлично и хорошо (в %), по оси ординат — учебные годы (рис. 3).

 

 

Успехи в классах, обучавшихся по экспериментальной программе, обозначены кривыми а и б, по традиционной программе — кривой в.

Для сравнения качества знаний учащихся мы провели специальный анализ, который показал, что разница между классами а и б мала и статистически незначима, в то время как разница между экспериментальными группами и традиционной группой в большая, статистически значима и превышает разницу качества знаний между экспериментальными группами в пять раз.

Выражение этих же результатов в графике дает возможность увидеть, что в экспериментальных классах качество знаний учащихся с переходом их на следующую ступень обучения (IV—V класс) сохраняется таким же высоким или даже возрастает. В то же время в классе, обучавшемся по традиционной программе, качество знаний снижается. Те же закономерности получены при сравнении результатов экспериментальной и традиционной программ обучения в других классах школ. Следует специально отметить, что все классы комплектовались без какого бы то ни было подбора детей.

Результаты обучения говорят о том, что у учащихся младших классов можно выработать обобщенное умение анализа задач с использованием необходимых для этого средств. Уже эти дети могут научиться систематически анализировать задачи с целью нахождения и выбора необходимого способа решения.

 

1. Боданский Ф. Г. Формирование алгебраического способа решения задач у младших школьников. — В сб.: Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В. В. Давыдова. М., 1969, с. 228—277.

2. Гальперин П. Я., Данилова В. Л. Воспитание систематического мышления в процессе решения малых творческих задач. — Вопросы психологии, 1980, № 1, с. 31—38.

3. Микулина Г. Г. Психологические особенности решения задач с буквенными данными. — В сб.: Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В. В. Давыдова. М., 1969, с. 157—196.

4. Минская Г. И. Формирование обобщенных способов решения задач. — В сб.: Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В. В. Давыдова. М., 1969, с. 196—228.

5. Пойа Ж. Как решать задачи. — М., 1965. — 208 с.

6. Салмина Н. Г., Сохина В. П. Обучение математике в начальной школе.— М., 1975. — 184 с.

7. Никола Г., Талызина Н. Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач. — В сб.: Управление познавательной деятельностью учащихся / Под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной. М., 1972, с. 209—261.

8. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н., Стеценко В. Я. Как научиться решать задачи. — М., 1979. — 160 с.

9. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М., 1977. — 208 с.